Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Passo 1
Temos a segunda derivada da função dada por
. O objetivo é encontrar a primitiva geral de
, ou seja, determinar
de forma que
e
. Vamos precisar usar antiderivação duas vezes e depois aplicar as condições de contorno para achar as constantes de integração.
Passo 2
Integramos
para obter
. Usando
e
, temos:
Passo 3
Agora integramos
para encontrar
. Sabendo que
e
, obtemos:
Passo 4
Aplicamos a condição
:
Logo,
.
Passo 5
Em seguida, aplicamos
:
Isso dá
, ou seja,
. Substituindo
e
em
temos a primitiva mais geral.
Passo 6
Para verificar, basta derivar
duas vezes e conferir que retorna $2e^t+3\sin t.