Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime prime(t)=2 e^t+3 sen t, f(0)=0, f(pi)=0

Passo 1

Temos a segunda derivada da função dada por f''(t)=2e^t+3sin t. O objetivo é encontrar a primitiva geral de f'', ou seja, determinar f(t) de forma que f(0)=0 e f(pi)=0. Vamos precisar usar antiderivação duas vezes e depois aplicar as condições de contorno para achar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos f''(t) para obter f'(t). Usando integral e^t,dt=e^t e integral sin t,dt=-cos t, temos:
f'(t)=integrall(2e^t+3sin tr),dt=2e^t-3cos t+C1, onde C1 é constante de integração.

Passo 3

Agora integramos f'(t) para encontrar f(t). Sabendo que integral e^t,dt=e^t e integral cos t,dt=sin t, obtemos:
f(t)=integrall(2e^t-3cos t+C1r),dt=2e^t-3sin t+C1t+C2, onde C2 é outra constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição f(0)=0:
f(0)=2e^0-3sin0+C1cdot0+C2=2+0+0+C2=0
Logo, C2=-2.

Passo 5

Em seguida, aplicamos f(pi)=0:
f(pi)=2e^pi-3sinpi+C1pi-2=2e^pi+0+C1pi-2=0
Isso dá C1pi=2-2e^pi, ou seja, C1=dfrac2-2e^pipi. Substituindo C1 e C2 em f(t) temos a primitiva mais geral.

Passo 6

Para verificar, basta derivar f(t) duas vezes e conferir que retorna $2e^t+3\sin t.

Resposta

f(t)=2e^t-3sin t+dfrac2-2e^pipi,t-2

Exercícios relacionados