Uma força de 13 N é necessária para manter uma mola presa a uma massa de 2 kg esticada
além de seu comprimento natural. A constante de amortecimento da mola éc
.
(a) Se a massa começa na posição de equilibrio com velocidade de
, encontre a posição no instante
.
(b) Faça o gráfico da função posição da massa.
(a) Se a massa começa na posição de equilibrio com velocidade de
(b) Faça o gráfico da função posição da massa.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema massa-mola com amortecimento. Temos
, força estática
que produz deformação
e constante de amortecimento
. O conteúdo é equação diferencial de 2ª ordem com amortecimento, aplicando Lei de Hooke e condições iniciais para encontrar a posição
.
Passo 2
Pela Lei de Hooke,
. Logo,
Passo 3
A equação de movimento com amortecimento é
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Escrevendo a equação característica:
O discriminante é
, logo raízes complexas:
Isso indica regime subamortecido.
Passo 5
A solução geral é
Passo 6
Aplicando as condições iniciais:
(posição de equilíbrio) implica
A velocidade inicial é
. Calculamos
e, em
,
Passo 7
Substituindo
e
, obtemos a solução particular:
O gráfico é uma senoide de frequência angular
superposta a um decaimento exponencial
. As curvas de envelope são
mostrando oscilações amortecendo em torno de zero.
Resposta
A posição da massa é
O gráfico mostra oscilações decrescentes conforme a função acima, com envelope
.