Uma força de 13 N é necessária para manter uma mola presa a uma massa de 2 kg esticada 0,25 m além de seu comprimento natural. A constante de amortecimento da mola éc c=8.
(a) Se a massa começa na posição de equilibrio com velocidade de 0,5 m / s, encontre a posição no instante t.
(b) Faça o gráfico da função posição da massa.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa-mola com amortecimento. Temos m=2,kg, força estática F=13,N que produz deformação x=0,25,m e constante de amortecimento c=8,Ncdot s/m. O conteúdo é equação diferencial de 2ª ordem com amortecimento, aplicando Lei de Hooke e condições iniciais para encontrar a posição y(t).

Passo 2

Pela Lei de Hooke, F=kx. Logo,
k = Fx = 130,25 = 52(N/m)

Passo 3

A equação de movimento com amortecimento é
m,y'' + c,y' + k,y = 0
Substituindo m=2, c=8 e k=52:
2,y'' + 8,y' + 52,y = 0 Longrightarrow y'' + 4,y' + 26,y = 0

Passo 4

Escrevendo a equação característica:
r^2 + 4r + 26 = 0
O discriminante é De<a = 4^2 - 4cdot1cdot26 = 16 - 104 = -88, logo raízes complexas:
r = -2 pm iraiz22
Isso indica regime subamortecido.

Passo 5

A solução geral é
y(t) = e^-2tl(Acos(raiz22,t) + Bsin(raiz22,t)r)

Passo 6

Aplicando as condições iniciais:
,y(0)=0 (posição de equilíbrio) implica
y(0)=A=0
A velocidade inicial é y'(0)=0,5,m/s. Calculamos y'(t) e, em t=0,
y'(0) = -2A + Braiz22 = 0,5 Longrightarrow B = 0,5raiz22 = 12raiz22

Passo 7

Substituindo A=0 e B=1/(2raiz22), obtemos a solução particular:
y(t) = 12raiz22,e^-2t,sinl(raiz22,tr)
O gráfico é uma senoide de frequência angular raiz22 superposta a um decaimento exponencial e^-2t. As curvas de envelope são
y = pm 12raiz22,e^-2t,
mostrando oscilações amortecendo em torno de zero.

Resposta

A posição da massa é
boxedy(t) = 12raiz22,e^-2tsinl(raiz22,tr)
O gráfico mostra oscilações decrescentes conforme a função acima, com envelope pm12raiz22e^-2t.

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