Mostre que existe uma raiz da equação dada abaixo no intervalo especificado.
raiz[3]x+x=1 ;(0,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe uma raiz da equação
raiz[3]x + x = 1
no intervalo (0,1). Vamos usar o Teorema de Bolzano, que garante existência de raiz quando uma função contínua muda de sinal nos extremos de um intervalo. Para isso, definimos
f(x) = raiz[3]x + x - 1

Passo 2

Verificamos que f é contínua em [0,1] porque é soma de funções contínuas: a função xmapstoraiz[3]x é contínua em R, xmapsto x também, e a subtração de 1 mantém a continuidade.

Passo 3

Calculamos os valores de f em 0 e em 1:
f(0) = raiz[3]0 + 0 - 1 = -1 < 0,
f(1) = raiz[3]1 + 1 - 1 = 1 > 0

Passo 4

Como f é contínua em [0,1] e temos f(0)<0 e f(1)>0, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um cin(0,1) tal que
f(c) = 0,
isto é,
raiz[3]c + c = 1

Resposta

Existe uma raiz cin(0,1) da equação raiz[3]x + x = 1.

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