Uma força de 15 N e orientação fixa realiza trabalho sobre uma partícula que sofre um deslocamento vec{d}=(2 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}) m. Qual é o ângulo entre a força e o deslocamento se a variação da energia cinética da partícula é
-35 J ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Força com módulo 15\\ \text{N} e orientação fixa (não precisamos conhecer sua componente explícita, só o módulo e que é constante).
  • Deslocamento \vec{d} = (2\hat{\imath}-4\hat{\jmath})\\ \text{m}.
  • Variação da energia cinética \Delta K = -35\\ \text{J}.
Pergunta: Qual é o ângulo \theta entre a força e o deslocamento?

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicando bem): o teorema trabalho-energia diz que a variação da energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho realizado sobre ela. Em fórmula:
W = \Delta K.
Aqui W é o trabalho realizado pela força sobre o deslocamento e \Delta K é a variação da energia cinética (neste problema \Delta K já foi dada). Ou seja, o trabalho que precisamos é W=-35\\ \text{J}.

Passo 3

Como a força é constante em direção fixa e o deslocamento é dado por um vetor, o trabalho realizado por essa força é o produto escalar (dot product) entre o vetor força \vec{F} e o vetor deslocamento \vec{d}:
W = \vec{F}\cdot\vec{d} = F\,d\,\cos\theta.
Explicando cada símbolo: F é o módulo da força (aqui 15), d é o módulo do vetor deslocamento \vec{d} (vamos calcular), e \theta é o ângulo entre \vec{F} e \vec{d}. A ideia é isolar \cos\theta a partir dessa igualdade.

Passo 4

Calcular o módulo do deslocamento \vec{d}. Dado \vec{d}=(2\hat{\imath}-4\hat{\jmath})\\ \text{m}, o módulo é a raiz da soma dos quadrados das componentes:
d = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\\ \text{m}.
Pequeno detalhe prático: \sqrt{5}\approx 2{,}236, então numericamente d\approx 4{,}472\\ \text{m}, mas vamos manter a forma exata 2\sqrt{5} até o momento de calcular o ângulo.

Passo 5

Agora escrevemos a equação do trabalho com os valores conhecidos e isolamos \cos\theta:
F\,d\,\cos\theta = W.
Substituindo F=15, d=2\sqrt{5} e W=-35:
15\cdot 2\sqrt{5}\;\cos\theta = -35.
Simplificando:
30\sqrt{5}\;\cos\theta = -35.
Logo
\cos\theta = \frac{-35}{30\sqrt{5}} = \frac{-7}{6\sqrt{5}}.
Se quiser, racionalizando:
\cos\theta = \frac{-7\sqrt{5}}{30}.

Passo 6

Agora transformamos em valor numérico e obtemos o ângulo. Primeiro o cosseno numérico:
\cos\theta \approx \frac{-7}{6\cdot 2{,}23607} \approx -0{,}521.
O ângulo \theta é o arco cosseno desse valor:
\theta = \operatorname{arccos}(-0{,}521) \approx 121{,}4^\circ.
Interpretação física rápida (pra você não perder a intuição): o ângulo é maior que 90^\circ, ou seja, a força tem uma componente contrária ao deslocamento, o que explica o trabalho negativo e a perda de energia cinética ( \Delta K<0). Força “atrapalhando” o movimento — é por isso que o trabalho saiu negativo.

Resposta

\theta \approx 121{,}4^\circ

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