A força a que uma partícula está submetida aponta ao longo de um eixo x e tem a seguinte forma: F(x)=2 e^{x}\left(x^{2}-1\right). Calcule o trabalho realizado pela força ao mover a partícula de x=0 a x=2.

Passo 1

O enunciado dá a força ao longo do eixo x e pede o trabalho realizado ao mover a partícula de x=0 até x=2.\n
Informações fornecidas:
F(x)=2 e^{x}\left(x^{2}-1\right)
Intervalo de movimento: x varia de 0 até 2.\n
O que é pedido: calcular o trabalho realizado pela força nesse deslocamento (um único valor).

Passo 2

Lembra do que é trabalho quando a força e o deslocamento estão ao longo da mesma linha: o trabalho é a integral da força em relação ao deslocamento. Matematicamente:
W=\int_{x=a}^{x=b}F(x)\,dx
Aqui W é o trabalho (energia transferida), F(x) é a força em função da posição x, e os limites a e b são os pontos inicial e final do deslocamento. Portanto, precisamos calcular uma integral definida.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado, montamos a integral:
W=\int_{0}^{2}2 e^{x}\left(x^{2}-1\right)\,dx.
Para facilitar, separamos a integral em duas partes:
W=2\int_{0}^{2}e^{x}x^{2}\,dx \;-\; 2\int_{0}^{2}e^{x}\,dx.
A segunda integral é direta; a primeira, \int e^{x}x^{2}\,dx, pede integração por partes (ou uso de fórmula para polinômio vezes exponencial). Vou calcular \int e^{x}x^{2}\,dx passo a passo.

Passo 4

Cálculo de \int e^{x}x^{2}\,dx por integração por partes.\n
Regra de integração por partes: se \,u=u(x) e \,dv=v'(x)\,dx, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=x^{2} e dv=e^{x}\,dx. Então du=2x\,dx e v=e^{x}. Aplicando:
\int e^{x}x^{2}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx.
Agora precisamos calcular \int e^{x}\cdot 2x\,dx = 2\int e^{x}x\,dx. Repetimos integração por partes para \int e^{x}x\,dx: escolha u=x, dv=e^{x}\,dx, então du=dx, v=e^{x}. Assim
\int e^{x}x\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.
Multiplicando por 2:
2\int e^{x}x\,dx = 2x e^{x} - 2e^{x}.
Voltando à expressão anterior:
\int e^{x}x^{2}\,dx = x^{2}e^{x} - \bigl(2x e^{x} - 2e^{x}\bigr) + C.
Agrupando termos:
\int e^{x}x^{2}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C.

Passo 5

Substituímos esse resultado na expressão do trabalho:
W=2\left[ e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr)\right]_{0}^{2} \;-\; 2\left[ e^{x}\right]_{0}^{2}.
Podemos também combinar as duas parcelas antes de avaliar: a primitiva completa de 2 e^{x}(x^{2}-1) é
2\cdot e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) - 2e^{x} = 2e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2 - 1\bigr) = 2e^{x}\bigl(x^{2}-2x+1\bigr).
Observando que x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}, obtemos uma primitiva simples:
\text{antiderivada} = 2e^{x}(x-1)^{2} + C.
É sempre bom conferir diferenciando: \dfrac{d}{dx}\bigl(2e^{x}(x-1)^{2}\bigr)=2e^{x}(x^{2}-1), está correto.

Passo 6

Agora avaliamos a primitiva nos limites 0 e 2:
W=\left[2e^{x}(x-1)^{2}\right]_{0}^{2} = 2e^{2}(2-1)^{2} - 2e^{0}(0-1)^{2}.
Calcule cada termo: (2-1)^{2}=1 e (0-1)^{2}=1; além disso e^{0}=1. Portanto
W = 2e^{2}\cdot 1 - 2\cdot 1 \cdot 1 = 2e^{2} - 2.
Fatorando 2:
W = 2\bigl(e^{2}-1\bigr).

Resposta

2\bigl(e^{2}-1\bigr)

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