A força a que uma partícula está submetida aponta ao longo de um eixo
e tem a seguinte forma:
. Calcule o trabalho realizado pela força ao mover a partícula de
a
.
Passo 1
O enunciado dá a força ao longo do eixo
e pede o trabalho realizado ao mover a partícula de
até
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Intervalo de movimento:
varia de
até
.\n
O que é pedido: calcular o trabalho realizado pela força nesse deslocamento (um único valor).
O que é pedido: calcular o trabalho realizado pela força nesse deslocamento (um único valor).
Passo 2
Lembra do que é trabalho quando a força e o deslocamento estão ao longo da mesma linha: o trabalho é a integral da força em relação ao deslocamento. Matematicamente:
Aqui
é o trabalho (energia transferida),
é a força em função da posição
, e os limites
e
são os pontos inicial e final do deslocamento. Portanto, precisamos calcular uma integral definida.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado, montamos a integral:
Para facilitar, separamos a integral em duas partes:
A segunda integral é direta; a primeira,
, pede integração por partes (ou uso de fórmula para polinômio vezes exponencial). Vou calcular
passo a passo.
Passo 4
Cálculo de
por integração por partes.\n
Regra de integração por partes: se e
, então
Regra de integração por partes: se
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Agora precisamos calcular
. Repetimos integração por partes para
: escolha
,
, então
,
. Assim
Multiplicando por
:
Voltando à expressão anterior:
Agrupando termos:
Passo 5
Substituímos esse resultado na expressão do trabalho:
Podemos também combinar as duas parcelas antes de avaliar: a primitiva completa de
é
Observando que
, obtemos uma primitiva simples:
É sempre bom conferir diferenciando:
, está correto.
Passo 6
Agora avaliamos a primitiva nos limites
e
:
Calcule cada termo:
e
; além disso
. Portanto
Fatorando
: