A força
age sobre uma partícula de massa 485 g , inicialmente em repouso, mudando apenas a energia cinética. Determine.
0 trabalho realizado por essa força para deslocar essa partícula da posição
para a posição
.
0 trabalho realizado por essa força para deslocar essa partícula da posição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema fala sobre uma força que age sobre uma partícula e queremos descobrir o trabalho que essa força realiza ao mover a partícula de uma posição para outra. Para isso, vamos usar conceitos de força, trabalho e energia cinética. Precisamos entender como calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. Trabalho (
) é definido como o produto da força (
) aplicada sobre um objeto e o deslocamento (
) desse objeto na direção da força. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
é a força aplicada e
é um pequeno deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
No nosso caso, a força dada é:
E queremos calcular o trabalho dessa força ao mover a partícula da posição
para
.
Passo 4
Para calcular o trabalho, precisamos expressar
em termos de
e
, e determinar o caminho que a partícula vai seguir. Porém, como não foi especificado um caminho, assumiremos que a força é conservativa, o que significa que o trabalho depende apenas das posições inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 5
Uma força é conservativa se puder ser derivada de uma potencial escalar (
), ou seja,
. Vamos verificar se a força dada é conservativa calculando o rotor dela. Para forças bidimensionais:
Calculando as derivadas:
Então:
Como o rotor não é zero, a força não é conservativa. Portanto, precisamos calcular o trabalho ao longo de um caminho específico.
Passo 6
Para simplificar, vamos escolher um caminho retilíneo da posição inicial
para a posição final
. Vamos parametrizar esse caminho linearmente.
Podemos utilizar um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde:
Dessa forma, quando
, estamos na posição inicial, e quando
, chegamos na posição final.
Passo 7
Agora, vamos expressar
em termos de
. Derivando
e
em relação a
:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão da força
:
Passo 9
O trabalho é dado pela integral do produto escalar da força pelo deslocamento:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 10
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 11
Integrando o primeiro termo:
Fazendo a substituição
,
, então:
Passo 12
Integrando o segundo termo:
Usamos a regra da potência:
Passo 13
Agora, somamos as integrais dos dois termos:
Calculamos em
e
.
Passo 14
Primeiro, em
:
Aqui vemos que
tende ao infinito, o que indica que o trabalho é infinito. Porém, isso não faz sentido físico no contexto dado. Isso sugere que nossa abordagem assumindo um caminho retilíneo simples pode não ser apropriada.
Passo 15
Vamos tentar outra abordagem usando a definição de trabalho como mudança na energia cinética. Sabemos que:
Como a partícula inicia do repouso,
, então:
Mas precisamos relacionar isso com a força fornecida.
Passo 16
Voltando à expressão inicial da força e considerando que ela altera apenas a energia cinética, podemos integrar a força ao longo de um caminho que evite a divergência. Talvez escolher um caminho onde
não se aproxima de zero, mas sem detalhes adicionais, fica complicado.
Passo 17
Devido à complexidade e à natureza da força, fica claro que o trabalho realizado por essa força ao mover a partícula do ponto
para
é infinito, o que não é fisicamente viável. Portanto, pode haver um erro no enunciado ou na interpretação do caminho.
Resposta
Não é possível determinar um valor finito para o trabalho realizado por essa força nesse deslocamento específico devido à natureza da força apresentada.