A força F=(2 x^-2+3 x) i+(x^3+3 x) j age sobre uma partícula de massa 485 g , inicialmente em repouso, mudando apenas a energia cinética. Determine.
0 trabalho realizado por essa força para deslocar essa partícula da posição (1 m, 2 m) para a posição (0 m, 3 m).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema fala sobre uma força que age sobre uma partícula e queremos descobrir o trabalho que essa força realiza ao mover a partícula de uma posição para outra. Para isso, vamos usar conceitos de força, trabalho e energia cinética. Precisamos entender como calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. Trabalho ( W) é definido como o produto da força ( F) aplicada sobre um objeto e o deslocamento ( d) desse objeto na direção da força. Matematicamente, isso é representado por:
W = integral F cdot dr
Aqui, F é a força aplicada e dr é um pequeno deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

No nosso caso, a força dada é:
F = (2 x^-2 + 3x) i + (x^3 + 3x) j
E queremos calcular o trabalho dessa força ao mover a partícula da posição (1, m, 2, m) para (0, m, 3, m).

Passo 4

Para calcular o trabalho, precisamos expressar F em termos de x e y, e determinar o caminho que a partícula vai seguir. Porém, como não foi especificado um caminho, assumiremos que a força é conservativa, o que significa que o trabalho depende apenas das posições inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 5

Uma força é conservativa se puder ser derivada de uma potencial escalar ( V), ou seja, F = -nabla V. Vamos verificar se a força dada é conservativa calculando o rotor dela. Para forças bidimensionais:
Rot(F) = partial Fypartial x - partial Fxpartial y
Calculando as derivadas:
partial Fypartial x = partialpartial x (x^3 + 3x) = 3x^2 + 3
partial Fxpartial y = partialpartial y (2 x^-2 + 3x) = 0
Então:
Rot(F) = 3x^2 + 3 - 0 = 3x^2 + 3
Como o rotor não é zero, a força não é conservativa. Portanto, precisamos calcular o trabalho ao longo de um caminho específico.

Passo 6

Para simplificar, vamos escolher um caminho retilíneo da posição inicial (1, m, 2, m) para a posição final (0, m, 3, m). Vamos parametrizar esse caminho linearmente.
Podemos utilizar um parâmetro t que varia de 0 a 1, onde:
x(t) = 1 - t y(t) = 2 + t
Dessa forma, quando t=0, estamos na posição inicial, e quando t=1, chegamos na posição final.

Passo 7

Agora, vamos expressar dr em termos de t. Derivando x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = -1 dydt = 1
Então:
dr = dxdt dt, i + dydt dt, j = (-1), dt, i + (1), dt, j

Passo 8

Agora, substituímos x(t) na expressão da força F:
F(t) = (2 (1 - t)^-2 + 3(1 - t)) i + ((1 - t)^3 + 3(1 - t)) j

Passo 9

O trabalho é dado pela integral do produto escalar da força pelo deslocamento:
W = integral0^1 F(t) cdot dr
Calculando o produto escalar:
F(t) cdot dr = (2 (1 - t)^-2 + 3(1 - t))(-1) + ((1 - t)^3 + 3(1 - t))(1)
Simplificando:
= -2 (1 - t)^-2 - 3(1 - t) + (1 - t)^3 + 3(1 - t)
= -2 (1 - t)^-2 + (1 - t)^3

Passo 10

Agora, integramos essa expressão de t=0 a t=1:
W = integral0^1 [-2 (1 - t)^-2 + (1 - t)^3] dt
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 11

Integrando o primeiro termo:
integral -2 (1 - t)^-2 dt = -2 integral (1 - t)^-2 dt
Fazendo a substituição u = 1 - t, du = -dt, então:
-2 integral u^-2 (-du) = -2 integral u^-2 du = -2 ( u^-1-1 ) = 2 u^-1 = 21 - t

Passo 12

Integrando o segundo termo:
integral (1 - t)^3 dt
Usamos a regra da potência:
= (1 - t)^44 (-1) = -(1 - t)^44

Passo 13

Agora, somamos as integrais dos dois termos:
W = [ 21 - t - (1 - t)^44 ]0^1
Calculamos em t=1 e t=0.

Passo 14

Primeiro, em t=1:
21 - 1 - (1 - 1)^44 = 20 - 0
Aqui vemos que 20 tende ao infinito, o que indica que o trabalho é infinito. Porém, isso não faz sentido físico no contexto dado. Isso sugere que nossa abordagem assumindo um caminho retilíneo simples pode não ser apropriada.

Passo 15

Vamos tentar outra abordagem usando a definição de trabalho como mudança na energia cinética. Sabemos que:
W = De
Como a partícula inicia do repouso, vi = 0, então:
W = 12 m vf^2
Mas precisamos relacionar isso com a força fornecida.

Passo 16

Voltando à expressão inicial da força e considerando que ela altera apenas a energia cinética, podemos integrar a força ao longo de um caminho que evite a divergência. Talvez escolher um caminho onde x não se aproxima de zero, mas sem detalhes adicionais, fica complicado.

Passo 17

Devido à complexidade e à natureza da força, fica claro que o trabalho realizado por essa força ao mover a partícula do ponto (1, m, 2, m) para (0, m, 3, m) é infinito, o que não é fisicamente viável. Portanto, pode haver um erro no enunciado ou na interpretação do caminho.

Resposta

Não é possível determinar um valor finito para o trabalho realizado por essa força nesse deslocamento específico devido à natureza da força apresentada.

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