Uma força de 660 N é aplicada na direção [111] de um cristal cúbico. Qual é o valor da componente na direção [110]?

Passo 1

O enunciado dá uma força de 660,N aplicada na direção cristalográfica [111] de um cristal cúbico e pede a sua componente na direção [110]. O que precisamos usar é a projeção de vetores: para obter a componente de \mathbf{F} numa direção dada pelo vetor unitário \mathbf{u}, basta calcular \mathbf{F} \cdot \mathbf{u}.

Passo 2

Primeiro vamos achar os vetores unitários das direções [111] e [110]. Num cristal cúbico podemos usar as mesmas coordenadas do espaço:
\mathbf u_{111} = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\,(1,1,1) = \frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,1,1),
\mathbf u_{110} = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}\,(1,1,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,1,0).

Passo 3

A força total pode então ser escrita como vetor
\mathbf F = 660\,\mathbf u_{111} = \frac{660}{\sqrt{3}}\,(1,1,1).

Passo 4

A componente de \mathbf F na direção \mathbf u_{110} é a projeção
F_{110} = \mathbf F\cdot\mathbf u_{110} = \frac{660}{\sqrt{3}}\,(1,1,1)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,1,0) = \frac{660}{\sqrt{6}}\,(1+1+0) = \frac{1320}{\sqrt{6}}.

Passo 5

Racionalizando temos
F_{110} = \frac{1320}{\sqrt{6}}\;\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{1320\sqrt{6}}{6} = 220\sqrt{6}\,\text{N} \approx 539\,\text{N}.

Resposta

A componente da força na direção [110] é
220\sqrt{6}\,\text{N}\approx539\,\text{N}.

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