Quando a força P é aplicada à placa, o perfil de velocidade para um fluido newtoniano, confinado sob a placa é aproximado por u=(12 Y^1 / 4) mm / s, onde y está em mm . Determine a tensão de cisalhamento mínima dentro do fluido. Considere mu=0,5 times 10^-3 N s / m^2

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um fluido newtoniano está “sob” uma placa e o perfil de velocidade dele é
u(Y)=12,Y^1/4(mm/s),
sendo em mm. A gente precisa achar a tensão de cisalhamento mínima dentro desse fluido, sabendo que a viscosidade é
.
Isso é tópico de escoamento de fluidos newtonianos: usamos a definição
.
No Passo 2 a gente calcula essa derivada, e depois acha onde ela é mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento em função de tau(y)=mu;dudy, é
dudy =ddYl(12,Y^1/4r) =12;14,Y^-3/4 =3,Y^-3/4l(tfracmm/smm=tfrac1sr)
Aqui em mm/s e em mm. A boa notícia é que se você diferenciar em mm e mm/s o resultado já sai em s⁻¹, ou seja compatível com SI (m/s por m).
Então:

Passo 3

Agora multiplico pela viscosidade tau(Y) =mu;l(3,Y^-3/4r) =3,mu,Y^-3/4 :
tau(Y)=3,(0,5times10^-3),Y^-3/4 =1,5times10^-3;Y^-3/4 l[N/m^2r]
Substituindo , fica

Passo 4

Para achar o mínimo de taumin=tau(H) =1,5times10^-3;H^-3/4 l[Par] dentro do fluido, note que é uma função decrescente de . Logo,
  • Quanto maior , menor .
    Se a camada de fluido vai de até , o mínimo ocorre em .
Então
Se o fluido fosse semi-infinito (vai até ), aí , e o mínimo seria zero.

Resposta

A expressão geral para a tensão de cisalhamento é
tau(Y)=1,5times10^-3;Y^-3/4;Pa
Como ela decresce com boxed taumin =1,5times10^-3;H^-3/4;Pa , o valor mínimo dentro do fluido ocorre no limite máximo , ou seja
Se o fluido fosse ilimitado para , então .

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