Uma força aplicada sobre uma partícula é dada por:
F=y i+(x+y) j
(b) Verifique se esta força é oriunda de um campo conservativo; em caso positivo, determine a energia potencial do campo da partícula neste campo. Todas as unidades são do MKS.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que temos uma força num plano dada por
F(x,y)=y,i + (x+y),j
e pede (b) para ver se ela é de um campo conservativo e, em caso positivo, achar a energia potencial desse campo.
Conteúdo: campos vetoriais em 2D, critério de conservatividade ( ) e achar a função potencial por integração. Vamos usar cálculo diferencial básico e integração de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes do campo:
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x e partial Ppartial y=partial ypartial y=1, partial Qpartial x=partial (x+y)partial x=1 .
Teoria: um campo em 2D é conservativo se, num domínio simples,
Calcula aí:
Como os dois são iguais, concluímos que é conservativo.

Passo 3

Agora vamos achar a função potencial F=nabla Phi Longrightarrow partial Phipartial x=P=y, partial Phipartial y=Q=x+y tal que
Phi(x,y)=integral y,dx = y,x + g(y),
  1. Integramos partial Phipartial y = x + g'(y) ;=; x + y em relação a g(y)=integral y,dy=tfrac12,y^2 + C :
Phi(x,y)=x,y + tfrac12,y^2 + C
onde é uma “constante” de integração que pode depender só de .
  1. Diferenciamos isso em relação a e igualamos a :
Logo , o que dá
  1. Substituindo em :
Em geral a gente escolhe para simplificar.

Resposta

A força é conservativa e a energia potencial associada (tomando constante zero) é
boxedU(x,y)=xy+tfrac12,y^2

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