Uma força aplicada sobre uma partícula é dada por:
(b) Verifique se esta força é oriunda de um campo conservativo; em caso positivo, determine a energia potencial do campo da partícula neste campo. Todas as unidades são do MKS.
Passo 1
Beleza, então o exercício diz que temos uma força num plano dada por
e pede (b) para ver se ela é de um campo conservativo e, em caso positivo, achar a energia potencial desse campo.
Conteúdo: campos vetoriais em 2D, critério de conservatividade ( ) e achar a função potencial por integração. Vamos usar cálculo diferencial básico e integração de funções de duas variáveis.
Conteúdo: campos vetoriais em 2D, critério de conservatividade (
Passo 2
Primeiro, identificamos as componentes do campo:
e
.
Teoria: um campo em 2D é conservativo se, num domínio simples,
Teoria: um campo em 2D
Calcula aí:
Como os dois são iguais, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Agora vamos achar a função potencial
tal que
- Integramos
em relação a :
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
- Diferenciamos isso em relação a
e igualamos a :
Logo
, o que dá
- Substituindo em
:
Em geral a gente escolhe
para simplificar.
Resposta
A força é conservativa e a energia potencial associada (tomando constante zero) é