Uma força aplicada sobre uma partícula é dada por:
© Calcule o trabalho realizado por esta força para deslocar a partícula de
até
ao longo de um arco de circunferência de raio
ligando estes dois pontos. Todas as unidades são do MKS.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma força no plano
e a gente precisa calcular o trabalho dessa força quando a partícula vai de
até
ao longo de um arco de circunferência de raio
.
Conteúdo: integração de linha (trabalho de uma força).
O que precisamos:
Conteúdo: integração de linha (trabalho de uma força).
O que precisamos:
- parâmetrizar o arco:
- calcular
- montar o produto escalar
- integrar no intervalo de parâmetro correspondente a
.
Passo 2
Teoria rapidinha: trabalho é
onde
é a curva (aqui, o arco de círculo). Para usar isso, a gente escolhe uma variável
que percorre o arco, expressa
e
em função de
, calcula
e integra.
Passo 3
Parâmetrização do arco de circunferência de raio
:
Supondo que em
a partícula está em
e em
ela chega em
.
Então
Então
Passo 4
Agora, a força no caminho vira
O produto escalar é
Isso dá
onde usei as identidades
e
.
Passo 5
Integramos de
até
:
Resposta
O trabalho geral ao longo do arco de
a
é
Se, por exemplo,
(
) e
(
), dá