Uma força aplicada sobre uma partícula é dada por:
F=y i+(x+y) j
© Calcule o trabalho realizado por esta força para deslocar a partícula de A até B ao longo de um arco de circunferência de raio R ligando estes dois pontos. Todas as unidades são do MKS.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma força no plano
F(x,y)=y,i+(x+y),j
e a gente precisa calcular o trabalho dessa força quando a partícula vai de até ao longo de um arco de circunferência de raio .
Conteúdo: integração de linha (trabalho de uma força).
O que precisamos:
  1. parâmetrizar o arco:
  2. calcular
  3. montar o produto escalar
  4. integrar no intervalo de parâmetro correspondente a .

Passo 2

Teoria rapidinha: trabalho é
W=integralCFcdotdr,
onde é a curva (aqui, o arco de círculo). Para usar isso, a gente escolhe uma variável que percorre o arco, expressa e em função de , calcula e integra.

Passo 3

Parâmetrização do arco de circunferência de raio x(t)=Rcos t, y(t)=Rsin t :
dr=(dot x,i+dot y,j),dt =(-Rsin t,i+Rcos t,j),dt
Supondo que em a partícula está em e em ela chega em .
Então

Passo 4

Agora, a força no caminho vira
F(t) =l(y(t)r),i+l(x(t)+y(t)r),j =Rsin t,i+l(Rcos t+Rsin tr),j
O produto escalar é
Fcdotdr =l[Rsin tr]l[-Rsin tr]dt +l[Rcos t+Rsin tr]l[Rcos tr]dt
Isso dá
Fcdotdr =l(-R^2sin^2t+R^2cos^2t+R^2sin tcos tr)dt =R^2l(cos2t+tfrac12sin2tr)dt,
onde usei as identidades e .

Passo 5

Integramos de W =R^2integraltA^tBl(cos2t+tfrac12sin2tr)dt =R^2l[tfrac12sin2t-tfrac14cos2tr]tA^tB até :

Resposta

O trabalho geral ao longo do arco de boxedW =R^2l(tfrac12sin2tB-tfrac14cos2tBr) -,R^2l(tfrac12sin2tA-tfrac14cos2tAr) a W =R^2l(tfrac12sinpi-tfrac14cospir) - R^2l(0-tfrac14cos0r) =R^2l(0+tfrac14r)=tfracR^24 é
Se, por exemplo, ( ) e ( ), dá

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