Uma força atua na origem de um sistema de coordenadas na direção definida pelos ângulos theta x=64,5^circ, theta z=55,9^circ. Sabendo que o componente y da força é -200 N , determine (a) o ângulo theta y e (b) os outros componentes e a intensidade da força.

Passo 1

Então, o exercício diz o seguinte:
Temos uma força vec F no espaço 3D. Os ângulos que ela faz com os eixos x e z são dados:
thetax = 64,5^circ, thetaz = 55,9^circ
Também sabemos que o componente no eixo y vale Fy = -200 N.
O que a gente precisa usar aqui é a ideia de cossenos diretores de um vetor:
- Se thetai é o ângulo com o eixo i, então
costhetai = Fi|vec F|
  • E, como a soma dos quadrados dessas projeções dá 1 (porque o vetor unitário tem norma 1), vale cos^2thetax+cos^2thetay+cos^2thetaz = 1
    Daí a gente consegue (a) o ângulo thetay e (b) achar os outros componentes Fx,Fz e o módulo |vec F|.

Passo 2

Calcula os cossenos conhecidos:
costhetax=cos(64,5^circ)approx0,4340,
costhetaz=cos(55,9^circ)approx0,5606

Passo 3

Usa a relação dos cossenos diretores:
cos^2thetax+cos^2thetay+cos^2thetaz=1
Substituindo:
0,4340^2+cos^2thetay+0,5606^2=1
0,1884+cos^2thetay+0,3143=1
cos^2thetay=1-0,1884-0,3143=0,4973
costhetay=pmraiz0,4973approxpm0,7052
Como Fy=-200,N é negativo, o cosseno também tem que ser negativo (o vetor “aponta” pra baixo no eixo y), então
costhetayapprox -0,7052
thetay=arccos(-0,7052)approx 134,9^circ

Passo 4

Agora a magnitude |vec F|. Sabemos que
Fy=|vec F|costhetayLongrightarrow |vec F|=Fycosthetay
Substituindo valores:
|vec F|=-200-0,7052approx283,7 N

Passo 5

Por fim, os outros componentes seguem de Fi=|vec F|costhetai:
Fx=283,7cdot0,4340approx123,1 N,
Fz=283,7cdot0,5606approx159,1 N

Resposta

(a) thetayapprox134,9^circ.
(b) Fxapprox123,1,N, Fzapprox159,1,N e |vec F|approx283,7,N.

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