A Força que atua sobre um corpo é dada por \mathrm{F}_{\mathrm{x}}=\mathrm{a} / \mathrm{x}^{2}, onde " a " é uma constante. Qual a energia potencial do corpo em função de x ?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. U=a / x+U_{0}
\bigcirc b. U=3 a / x^{3}+U_{0}
\bigcirc c. U=2 a / x+U_{0}
\bigcirc d. U=a . x+U_{0}

Passo 1

O enunciado dá a força em função de x:
\mathrm{F}_{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}^{2}},
onde \mathrm{a} é uma constante. A pergunta é: qual a energia potencial U(x) do corpo em função de x?
Informações relevantes: \mathrm{a} é constante; a força está escrita como função apenas de x; espera-se uma energia potencial até uma constante aditiva (usualmente chamada de U_{0}).

Passo 2

Relação entre força unidimensional e energia potencial: para uma força conservativa numa única direção temos a relação
\mathrm{F}_{x} = -\frac{dU}{dx}.
Explicação curta do sinal: o sinal negativo indica que a força aponta na direção de decrescimento da energia potencial — se U aumenta com x, a força é negativa, e vice-versa.

Passo 3

Use a relação acima trocando \mathrm{F}_{x} pela função dada. Assim:
-\frac{dU}{dx}=\frac{a}{x^{2}}.
Isolando a derivada de U,
\frac{dU}{dx}=-\frac{a}{x^{2}}.

Passo 4

Agora integramos em relação a x para obter U(x). Escrevo a integral passo a passo:
U(x)=\int \frac{dU}{dx}\,dx=\int \left(-\frac{a}{x^{2}}\right)dx = -a\int x^{-2}dx.
Aplicando a regra de potência para integrais: \displaystyle \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=-2, então
\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}.
Substituindo,
U(x) = -a\left(-\frac{1}{x}\right)+C = \frac{a}{x}+C.
Denotamos a constante de integração por U_{0}, portanto
U(x)=\frac{a}{x}+U_{0}.

Passo 5

Interpretação e domínio: o resultado \displaystyle U(x)=\frac{a}{x}+U_{0} faz sentido desde que x\neq 0 (pois a força original tem singularidade em x=0). A constante U_{0} representa o nível de referência arbitrário da energia potencial (na prova você pode deixá-la como U_{0} ou 0 se uma referência for escolhida).

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação para garantir que recuperamos a força dada: derivando U,
\frac{dU}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{a}{x}+U_{0}\right)= -\frac{a}{x^{2}}.
Aplicando \mathrm{F}_{x}=-\dfrac{dU}{dx} obtemos
\mathrm{F}_{x}=-\left(-\frac{a}{x^{2}}\right)=\frac{a}{x^{2}},
ou seja, coincide com a força do enunciado. Tudo conferiu.

Resposta

a. \displaystyle U=\frac{a}{x}+U_{0}

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