Para o íon molecular H2^+([Ha-Hb]^+), faça o que se pede.
Considere a função de onda tentativa ( phi ), para o estado fundamental, como um produto das funções 1 sa alpha e 1 sllcornerbeta dos átomos de Hidrogênio:
phi=1 sa(ra) alpha 1 sb(rb) beta Psi100(r)=1raiz2 pi(Za0)^3 / 2 e^-Z r / a0
i) Reescreva a função de onda Psi100(r) inserindo o parâmetro variacional alpha. Explique como esse parâmetro pode ser otimizado para obter a função de onda ótima.
ii) Apresente as funções de onda simétrica e antissimétrica. Explique por que as permutações são necessárias para a solução do problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com o íon molecular H2^+, que é basicamente dois átomos de hidrogênio ligados com uma carga positiva. A matéria que vamos usar aqui é a mecânica quântica, especificamente a função de onda dos elétrons nesse íon. A gente precisa entender como escrever e otimizar essa função de onda para o estado fundamental, e também como construir funções de onda simétricas e antissimétricas. Para isso, vamos usar conceitos como função de onda, parâmetro variacional e simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de onda Psi100(r) inserindo um parâmetro variacional alpha. A função de onda inicial é dada por:
Psi100(r) = 1raiz2 pi ( Za0 )^3/2 e^-Z r / a0
O parâmetro variacional alpha é introduzido para ajustar a função de onda de forma que ela se aproxime o máximo possível da verdadeira função de onda do sistema. Assim, substituímos Z por alpha Z:
Psi100(r) = 1raiz2 pi ( alpha Za0 )^3/2 e^-alpha Z r / a0

Passo 3

Agora, vamos entender como otimizar esse parâmetro alpha. A ideia é variar alpha de maneira que a energia esperada do sistema seja minimizada. Isso se baseia no princípio variacional, que diz que a energia calculada com uma função de onda aproximada sempre será igual ou maior que a energia real do estado fundamental.
Para otimizar alpha, calculamos a energia esperada E(alpha) usando a função de onda modificada e, em seguida, encontramos o valor de alpha que minimiza essa energia. Esse valor de alpha nos dá a função de onda “ótima” dentro das aproximações que fizemos.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte da questão: apresentar as funções de onda simétrica e antissimétrica. Quando lidamos com partículas idênticas, como elétrons, a função de onda total do sistema deve ser simétrica ou antissimétrica em relação à troca das partículas, dependendo do tipo de partículas.
Para o íon H2^+, temos uma função de onda para o elétron que pode ser simétrica ou antissimétrica:
  • Simétrica:
    Psisimétrica = 1raiz2 [ phia(ra) phib(rb) + phia(rb) phib(ra) ] é
  • Antissimétrica:
    Psiantissimétrica = 1raiz2 [ phia(ra) phib(rb) - phia(rb) phib(ra) ] é

Passo 5

Por que precisamos dessas permutações? Bem, porque os elétrons são férmions, e a física diz que a função de onda total de férmions deve ser antissimétrica em relação à troca de partículas. Isso significa que se trocarmos os elétrons, a função de onda muda de sinal. Essa propriedade é essencial para respeitar o Princípio de Exclusão de Pauli, que explica muitas propriedades dos átomos e moléculas.
No contexto do H2^+, embora tenhamos apenas um elétron, consideramos a simetria para entender melhor as possíveis soluções e a interação com os núcleos de hidrogênio.

Resposta

Reescrevemos a função de onda Psi100(r) inserindo o parâmetro variacional alpha como:
Psi100(r) = 1raiz2 pi ( alpha Za0 )^3/2 e^-alpha Z r / a0
Além disso, apresentamos as funções de onda simétrica e antissimétrica:
Psisimétrica = 1raiz2 [ phia(ra) phib(rb) + phia(rb) phib(ra) ] é
Psiantissimétrica = 1raiz2 [ phia(ra) phib(rb) - phia(rb) phib(ra) ] é
Essas funções de onda consideram as permutações necessárias para respeitar a simetria exigida pela natureza dos elétrons no íon H2^+.

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