Para o íon molecular
, faça o que se pede.
Considere a função de onda tentativa (
), para o estado fundamental, como um produto das funções
e
dos átomos de Hidrogênio:
i) Reescreva a função de onda
inserindo o parâmetro variacional
. Explique como esse parâmetro pode ser otimizado para obter a função de onda ótima.
ii) Apresente as funções de onda simétrica e antissimétrica. Explique por que as permutações são necessárias para a solução do problema.
Considere a função de onda tentativa (
ii) Apresente as funções de onda simétrica e antissimétrica. Explique por que as permutações são necessárias para a solução do problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com o íon molecular
, que é basicamente dois átomos de hidrogênio ligados com uma carga positiva. A matéria que vamos usar aqui é a mecânica quântica, especificamente a função de onda dos elétrons nesse íon. A gente precisa entender como escrever e otimizar essa função de onda para o estado fundamental, e também como construir funções de onda simétricas e antissimétricas. Para isso, vamos usar conceitos como função de onda, parâmetro variacional e simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de onda
inserindo um parâmetro variacional
. A função de onda inicial é dada por:
O parâmetro variacional
é introduzido para ajustar a função de onda de forma que ela se aproxime o máximo possível da verdadeira função de onda do sistema. Assim, substituímos
por
:
Passo 3
Agora, vamos entender como otimizar esse parâmetro
. A ideia é variar
de maneira que a energia esperada do sistema seja minimizada. Isso se baseia no princípio variacional, que diz que a energia calculada com uma função de onda aproximada sempre será igual ou maior que a energia real do estado fundamental.
Para otimizar
, calculamos a energia esperada
usando a função de onda modificada e, em seguida, encontramos o valor de
que minimiza essa energia. Esse valor de
nos dá a função de onda “ótima” dentro das aproximações que fizemos.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte da questão: apresentar as funções de onda simétrica e antissimétrica. Quando lidamos com partículas idênticas, como elétrons, a função de onda total do sistema deve ser simétrica ou antissimétrica em relação à troca das partículas, dependendo do tipo de partículas.
Para o íon
, temos uma função de onda para o elétron que pode ser simétrica ou antissimétrica:
-
Simétrica:
-
Antissimétrica:
Passo 5
Por que precisamos dessas permutações? Bem, porque os elétrons são férmions, e a física diz que a função de onda total de férmions deve ser antissimétrica em relação à troca de partículas. Isso significa que se trocarmos os elétrons, a função de onda muda de sinal. Essa propriedade é essencial para respeitar o Princípio de Exclusão de Pauli, que explica muitas propriedades dos átomos e moléculas.
No contexto do
, embora tenhamos apenas um elétron, consideramos a simetria para entender melhor as possíveis soluções e a interação com os núcleos de hidrogênio.
Resposta
Reescrevemos a função de onda
inserindo o parâmetro variacional
como:
Além disso, apresentamos as funções de onda simétrica e antissimétrica:
Essas funções de onda consideram as permutações necessárias para respeitar a simetria exigida pela natureza dos elétrons no íon
.