No instante t_{0}=0 o radar indica que um avião inimigo se aproxima com velocidade constante de 720 \mathrm{km} / \mathrm{h}, a uma altura constante de 400 m e a uma distância horizontal inicial de 2 km da base militar sob ataque. Um lançador de projéteis só pode lançá-los num ângulo de 45^{\circ} com a horizontal. Qual deve ser o módulo da velocidade mínima ( v_{\min } ) de lançamento do projétil para que o avião inimigo seja abatido? Considere que o míssil será lançado com uma velocidade igual a 3 vezes a velocidade mínima, ou seja, v_{lançamento} = 3 v_{\min }ç. Depois de quanto tempo (após t_{0} ) o projétil deve ser lançado para que o avião inimigo seja abatido? Em que instante de tempo (após t_{0} ) ocorre a colisão entre o projétil e o avião? O avião será atingido quando o projétil está na ascendente ou na descendente? Justifique o seu resultado. Faça um desenho esquemático das trajetórias do avião e do projétil, indicando o ponto de impacto. A que distância horizontal da base o avião é abatido?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei do enunciado):
    • instante inicial t_{0}=0.
    • velocidade do avião: 720\\ \mathrm{km/h}.
    • altura do avião: 400\\ \mathrm{m} (constante).
    • distância horizontal inicial do avião até a base: 2\\ \mathrm{km}.
    • ângulo de lançamento do projétil: 45^\circ (fixo).
    • definem v_{\min} como a velocidade mínima de lançamento possível (módulo).
    • o míssil será lançado com v_{lan\c{c}amento}=3\,v_{\min}.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Qual é o valor de v_{\min} (módulo da velocidade mínima) para que o avião possa ser abatido?
    2. Sabendo que o míssil será lançado com v_{lan\c{c}amento}=3\,v_{\min}, depois de quanto tempo (após t_{0}) o projétil deve ser lançado para que o avião seja abatido?
    3. Em que instante de tempo (após t_{0}) ocorre a colisão entre projétil e avião?
    4. O avião será atingido quando o projétil está na ascendente ou na descendente? Justificar.
    5. Desenho esquemático das trajetórias indicando o ponto de impacto.
    6. A que distância horizontal da base o avião é abatido?
A partir daqui vamos montar as equações e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro faço as conversões de unidades e defino o sistema de referência (isso evita erros bobos).
  • Converter velocidade do avião:
    720\\ \mathrm{km/h} = 720\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=200\\ \mathrm{m/s}.
    Vou chamar u=200\\ \mathrm{m/s} a velocidade do avião (direção horizontal em direção à base).
  • Converter distância inicial:
    2\\ \mathrm{km}=2000\\ \mathrm{m}.
  • Adoto um eixo horizontal x com a origem na base militar ( x=0) e sentido positivo para longe da base. No instante t_{0}=0 o avião está em x_{A}(0)=2000\\ \mathrm{m} e vindo em direção à base, logo para tempos t\ge0
    x_{A}(t)=2000 - u\,t = 2000 - 200\,t.
    A altura do avião é y_{A}(t)=400\\ \mathrm{m} (constante).
  • O projétil sai da base em x=0,y=0 com ângulo \theta=45^\circ. Para um lançamento com velocidade v (módulo), as componentes iniciais são
    v_x=v\cos45^\circ=\frac{v}{\sqrt{2}},\qquad v_y=v\sin45^\circ=\frac{v}{\sqrt{2}}.
  • Denoto por t_{L} o instante absoluto (após t_0) em que o projétil é lançado, e por t' o tempo medido desde o lançamento até o choque (tempo de voo do projétil entre lançamento e colisão). Assim o instante absoluto da colisão é
    t_{c}=t_{L}+t'.

Passo 3

Achar v_{\min}: interpretação física e fórmula.
  • Para que o projétil possa atingir o avião, o projétil tem de alcançar a altura y=400\\ \mathrm{m} em algum instante do seu voo. A mínima velocidade necessária para que isso seja possível é simplesmente a velocidade mínima para que a altura máxima do projétil seja pelo menos 400\\ \mathrm{m}.
  • Altura máxima de um lançamento oblíquo (fórmula):
    H=\frac{v^{2}\sin^{2}\theta}{2g},
    onde v é a velocidade inicial, \theta o ângulo de lançamento e g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} a aceleração da gravidade.
  • Aqui \theta=45^\circ, então \sin^{2}45^\circ=\tfrac{1}{2}, logo
    H=\frac{v^{2}}{4g}.
  • Exigindo H\ge400 para que seja possível atingir essa altura, obtemos a velocidade mínima v_{\min} resolvendo
    \frac{v_{\min}^{2}}{4g}=400.
    Assim
    v_{\min}=2\sqrt{g\cdot 400}.
  • Calculo numérico:
    v_{\min}=2\sqrt{9{,}8\cdot 400}=2\sqrt{3920}\approx125{,}22\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: a ideia é simples — se a velocidade fosse menor, a trajetória nunca subiria até 400\\ \mathrm{m}; portanto não há interceptação possível em qualquer tempo. Isso determina v_{\min}.

Passo 4

Determinar v_{lan\c{c}amento} usado no problema.
  • Foi dado v_{lan\c{c}amento}=3\,v_{\min}. Logo v_{lan\c{c}amento}=3\cdot125{,}22\\ \mathrm{m/s}\approx375{,}66\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Equações do projétil (tempo contado a partir do lançamento).
  • Se o míssil é lançado com v=v_{lan\c{c}amento} e t' é o tempo desde o lançamento, as posições do projétil são x_{P}(t')=\frac{v}{\sqrt{2}}\,t',
y_{P}(t')=\frac{v}{\sqrt{2}}\,t' - \frac{1}{2}g{t'}^{2}.
  • Para encontrar os instantes em que o projétil tem altura 400\\ \mathrm{m} precisamos resolver y_{P}(t')=400.

Passo 6

Resolver a equação para t' quando y_{P}(t')=400.
  • Substituindo v=v_{lan\c{c}amento} e multiplicando por 2 para simplificar:
    g{t'}^{2} - v\sqrt{2}\,t' + 800 = 0.
    (porque 2\cdot 400=800 e 2\cdot \tfrac{v}{\sqrt{2}}t' = v\sqrt{2}\,t'.)
  • Esta é uma equação quadrática em t'. A solução é
    t'=\frac{v\sqrt{2}\pm\sqrt{(v\sqrt{2})^{2}-4g\cdot 800}}{2g}.
  • Agora uso o fato de v_{lan\c{c}amento}=3v_{\min} e o valor numérico para calcular as raízes. Primeiro note
    v_{lan\c{c}amento}^{2}=9\,v_{\min}^{2}=9\cdot(4g\cdot 400)=36g\cdot 400.
    Assim o discriminante se simplifica (poupando passos algébricos):
    \Delta=(v\sqrt{2})^{2}-3200g = 2v^{2}-3200g = 2\cdot(36g\cdot 400)-3200g =25600g.
    Logo
    \sqrt{\Delta}=160\sqrt{g}.
  • Substituindo numericamente v\approx375{,}66\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
    v\sqrt{2}\approx375{,}66\cdot1{,}4142\approx531{,}00,
\sqrt{\Delta}=160\sqrt{9{,}8}\approx160\cdot3{,}1305\approx500{,}88.
  • Assim as duas raízes são t'_{1}=\frac{531{,}00-500{,}88}{2\cdot9{,}8}\approx\frac{30{,}12}{19{,}6}\approx1{,}536\\ \mathrm{s},
t'_{2}=\frac{531{,}00+500{,}88}{19{,}6}\approx\frac{1031{,}88}{19{,}6}\approx52{,}68\\ \mathrm{s}.
Didática: são dois instantes em que o projétil tem y=400\\ \mathrm{m} — o menor corresponde à passagem na ascendente, o maior à passagem na descendente.

Passo 7

Determinar onde (em x) o projétil está nesses instantes e verificar compatibilidade com o movimento do avião.
  • A posição horizontal do projétil no instante t' é
    x_{P}(t')=\frac{v}{\sqrt{2}}\,t'.
  • Para t'_{1}=1{,}536\\ \mathrm{s}:
    \frac{v}{\sqrt{2}}\approx\frac{375{,}66}{1{,}4142}\approx265{,}58\\ \mathrm{m/s},
x_{P}(t'_{1})\approx265{,}58\cdot1{,}536\approx407{,}9\\ \mathrm{m}.
  • Para t'_{2}=52{,}68\\ \mathrm{s}: x_{P}(t'_{2})\approx265{,}58\cdot52{,}68\approx13999\\ \mathrm{m}\\ (\approx14{,}0\\ \mathrm{km}),mas note que o avião atinge a base em tempo 2000/200=10\\ \mathrm{s}, portanto um impacto aos t'_{2} seria impossível (o avião já teria passado pela base ou sido destruído antes). Logo a única solução física é a que usa t'_{1}.

Passo 8

Calcular o tempo de lançamento t_{L} e o instante de colisão t_{c}.
  • No instante de colisão absoluto t_{c}=t_{L}+t' a posição horizontal do avião é
    x_{A}(t_{c})=2000-200\,t_{c}.
    Condição de colisão: x_{A}(t_{c})=x_{P}(t').
  • Isolando t_{L}:
    t_{L} = \frac{2000-x_{P}(t')}{200} - t'.
  • Substituindo x_{P}(t'_{1})\approx407{,}9\\ \mathrm{m} e t'_{1}\approx1{,}536\\ \mathrm{s}:
    t_{c}=\frac{2000-407{,}9}{200}\approx\frac{1592{,}1}{200}\approx7{,}9605\\ \mathrm{s},
t_{L}=t_{c}-t'_{1}\approx7{,}9605-1{,}536\approx6{,}4245\\ \mathrm{s}.
Arredondando convenientemente: t_{L}\approx6{,}42\\ \mathrm{s} e t_{c}\approx7{,}96\\ \mathrm{s} após t_{0}.

Passo 9

Verificação se o impacto ocorre na ascendente ou descendente do projétil.
  • Tempo até o vértice da trajetória (ponto de máxima altura) é
    t_{v}=\frac{v\sin45^\circ}{g}=\frac{v}{\sqrt{2}\,g}\approx\frac{265{,}58}{9{,}8}\approx27{,}09\\ \mathrm{s}.
  • Como t'_{1}\approx1{,}536\\ \mathrm{s}\ll t_{v}, o projétil ainda está na parte ascendente ao atingir y=400\\ \mathrm{m}. Portanto o impacto ocorre na ascendente. (O segundo tempo t'_{2} corresponderia à descendente, mas é fisicamente impossível aqui porque o avião já passou.)

Passo 10

Desenho esquemático (simples) das trajetórias e localização do ponto de impacto.
  • Esquema (vista lateral, não em escala perfeita):
    base (origem) em x=0
    \n
    Avião: começa em x=2000, desloca-se para a esquerda até a base. Linha horizontal a y=400.
    \n
    Projétil: parte da base, descreve parábola que sobe passando por y=400 em x\approx408 (impacto) e continua até o vértice e desceria depois.
    Representação textual rápida:
    \n
    x (m) --> 0 … 408 … 2000
    \n
    y (m)
    \n
    500 | . (avião linha a 400)
    \n
    400 | impacto (avião e projétil aqui at x\approx408, y=400)
    \n
    200 | /
    \n
    0 |---------/---- base (lançamento em x=0,y=0)
    \n
    (Este é um esquema para visualizar: o projétil parte da base, atinge o avião em x\approx408\\ \mathrm{m}, y=400\\ \mathrm{m}, enquanto o avião vinha de x=2000 em direção à base.)

Passo 11

Resultados finais numéricos e checagens rápidas.
  • v_{\min}=2\sqrt{g\cdot 400}\approx125{,}22\\ \mathrm{m/s}.
  • v_{lan\c{c}amento}=3\,v_{\min}\approx375{,}66\\ \mathrm{m/s}.
  • Tempo desde t_{0} para lançar o projétil: t_{L}\approx6{,}42\\ \mathrm{s}.
  • Instante da colisão após t_{0}: t_{c}\approx7{,}96\\ \mathrm{s}.
  • O projétil atinge o avião na fase ascendente da sua trajetória (porque t'_{1}\approx1{,}536\\ \mathrm{s}<t_{v}\approx27{,}09\\ \mathrm{s}).
  • Distância horizontal da base onde o avião é abatido: x\approx407{,}9\\ \mathrm{m} (aprox. 408\\ \mathrm{m}).
Conselho final amigo: se estiver na prova, faça primeiro a verificação de que o projetil consegue atingir a altura (passo do v_{\min}) — isso evita perder tempo com cálculos impossíveis — e em seguida calcule as raízes para a altura desejada, escolha a raiz compatível com o tempo de voo do avião e determine o atraso de disparo.

Resposta

v_{\min}\approx125{,}22\\ \mathrm{m/s}
v_{lan\c{c}amento}=3v_{\min}\approx375{,}66\\ \mathrm{m/s}
Tempo de lançamento após t_{0}: t_{L}\approx6{,}42\\ \mathrm{s}
Instante da colisão após t_{0}: t_{c}\approx7{,}96\\ \mathrm{s}
O projétil atinge o avião na ascendente.
Distância horizontal do ponto de impacto à base: x\approx407{,}9\\ \mathrm{m}

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