No instante
o radar indica que um avião inimigo se aproxima com velocidade constante de 720
, a uma altura constante de 400 m e a uma distância horizontal inicial de 2 km da base militar sob ataque. Um lançador de projéteis só pode lançá-los num ângulo de
com a horizontal. Qual deve ser o módulo da velocidade mínima (
) de lançamento do projétil para que o avião inimigo seja abatido? Considere que o míssil será lançado com uma velocidade igual a 3 vezes a velocidade mínima, ou seja,
. Depois de quanto tempo (após
) o projétil deve ser lançado para que o avião inimigo seja abatido? Em que instante de tempo (após
) ocorre a colisão entre o projétil e o avião? O avião será atingido quando o projétil está na ascendente ou na descendente? Justifique o seu resultado. Faça um desenho esquemático das trajetórias do avião e do projétil, indicando o ponto de impacto. A que distância horizontal da base o avião é abatido?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (peguei do enunciado):
- instante inicial
. - velocidade do avião:
. - altura do avião:
(constante). - distância horizontal inicial do avião até a base:
. - ângulo de lançamento do projétil:
(fixo). - definem
como a velocidade mínima de lançamento possível (módulo). - o míssil será lançado com .
- instante inicial
-
Perguntas que o enunciado faz:
- Qual é o valor de
(módulo da velocidade mínima) para que o avião possa ser abatido? - Sabendo que o míssil será lançado com
, depois de quanto tempo (após
) o projétil deve ser lançado para que o avião seja abatido? - Em que instante de tempo (após
) ocorre a colisão entre projétil e avião? - O avião será atingido quando o projétil está na ascendente ou na descendente? Justificar.
- Desenho esquemático das trajetórias indicando o ponto de impacto.
- A que distância horizontal da base o avião é abatido?
- Qual é o valor de
A partir daqui vamos montar as equações e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro faço as conversões de unidades e defino o sistema de referência (isso evita erros bobos).
-
Converter velocidade do avião:Vou chamar
a velocidade do avião (direção horizontal em direção à base). -
Converter distância inicial:
-
Adoto um eixo horizontal
com a origem na base militar ( ) e sentido positivo para longe da base. No instante o avião está em e vindo em direção à base, logo para tempos A altura do avião é(constante). -
O projétil sai da base em
com ângulo . Para um lançamento com velocidade (módulo), as componentes iniciais são -
Denoto por
o instante absoluto (após ) em que o projétil é lançado, e por o tempo medido desde o lançamento até o choque (tempo de voo do projétil entre lançamento e colisão). Assim o instante absoluto da colisão é
Passo 3
Achar
: interpretação física e fórmula.
-
Para que o projétil possa atingir o avião, o projétil tem de alcançar a altura
em algum instante do seu voo. A mínima velocidade necessária para que isso seja possível é simplesmente a velocidade mínima para que a altura máxima do projétil seja pelo menos . -
Altura máxima de um lançamento oblíquo (fórmula):onde
é a velocidade inicial, o ângulo de lançamento e a aceleração da gravidade. -
Aqui
, então , logo -
Exigindo
para que seja possível atingir essa altura, obtemos a velocidade mínima resolvendo Assim -
Calculo numérico:
Comentário didático: a ideia é simples — se a velocidade fosse menor, a trajetória nunca subiria até
; portanto não há interceptação possível em qualquer tempo. Isso determina
.
Passo 4
Determinar
usado no problema.
- Foi dado . Logo
Passo 5
Equações do projétil (tempo contado a partir do lançamento).
- Se o míssil é lançado com
e
é o tempo desde o lançamento, as posições do projétil são
- Para encontrar os instantes em que o projétil tem altura
precisamos resolver
Passo 6
Resolver a equação para
quando
.
-
Substituindo e multiplicando por
para simplificar: (porquee .) -
Esta é uma equação quadrática em
. A solução é -
Agora uso o fato de e o valor numérico para calcular as raízes. Primeiro noteAssim o discriminante se simplifica (poupando passos algébricos):Logo
-
Substituindo numericamente
e :
- Assim as duas raízes são
Didática: são dois instantes em que o projétil tem
— o menor corresponde à passagem na ascendente, o maior à passagem na descendente.
Passo 7
Determinar onde (em
) o projétil está nesses instantes e verificar compatibilidade com o movimento do avião.
-
A posição horizontal do projétil no instante
é -
Para
:
- Para
: mas note que o avião atinge a base em tempo , portanto um impacto aos seria impossível (o avião já teria passado pela base ou sido destruído antes). Logo a única solução física é a que usa .
Passo 8
Calcular o tempo de lançamento
e o instante de colisão
.
-
No instante de colisão absoluto
a posição horizontal do avião é Condição de colisão:. -
Isolando
: -
Substituindo
e :
Arredondando convenientemente:
e
após
.
Passo 9
Verificação se o impacto ocorre na ascendente ou descendente do projétil.
-
Tempo até o vértice da trajetória (ponto de máxima altura) é
-
Como
, o projétil ainda está na parte ascendente ao atingir . Portanto o impacto ocorre na ascendente. (O segundo tempo corresponderia à descendente, mas é fisicamente impossível aqui porque o avião já passou.)
Passo 10
Desenho esquemático (simples) das trajetórias e localização do ponto de impacto.
-
Esquema (vista lateral, não em escala perfeita):base (origem) em
\n
Avião: começa em, desloca-se para a esquerda até a base. Linha horizontal a .
\n
Projétil: parte da base, descreve parábola que sobe passando porem (impacto) e continua até o vértice e desceria depois. Representação textual rápida:\n
x (m) --> 0 … 408 … 2000
\n
y (m)
\n
500 | . (avião linha a 400)
\n
400 | impacto (avião e projétil aqui at, )
\n
200 | /
\n
0 |---------/---- base (lançamento em)
\n(Este é um esquema para visualizar: o projétil parte da base, atinge o avião em, , enquanto o avião vinha de em direção à base.)
Passo 11
Resultados finais numéricos e checagens rápidas.
-
- Tempo desde
para lançar o projétil: - Instante da colisão após
: - O projétil atinge o avião na fase ascendente da sua trajetória (porque
). - Distância horizontal da base onde o avião é abatido:
(aprox. ).
Conselho final amigo: se estiver na prova, faça primeiro a verificação de que o projetil consegue atingir a altura (passo do
) — isso evita perder tempo com cálculos impossíveis — e em seguida calcule as raízes para a altura desejada, escolha a raiz compatível com o tempo de voo do avião e determine o atraso de disparo.
Resposta
Tempo de lançamento após
Instante da colisão após
O projétil atinge o avião na ascendente.
Distância horizontal do ponto de impacto à base: