Prove que a entropia é uma função de estado para o caso especial no qual um gás ideal passa por um processo reversível.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que a entropia é uma função de estado no caso especial em que um gás ideal passa por um processo reversível.
Informações dadas / assumidas (explícitas ou típicas do problema):
\bullet O sistema é um gás ideal, obedecendo a equação de estado \,pV=nRT\,.
\bullet O processo é reversível, isto é, as trocas de calor ocorrem de forma reversível; o trabalho reversível é p\,dV.
\bullet Podemos usar que a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, daí dU=nC_V\,dT (onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante).
Pergunta concreta a responder: mostrar que a quantidade diferencial \,dS=\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}\, é um diferencial exato (depende só dos estados inicial e final), e obter a expressão de mudança de entropia entre dois estados.

Passo 2

Conceitos básicos necessários (explicados bem devagar):
O que significa “função de estado” e “diferencial exato”?
  • Uma grandeza S é função de estado se o seu diferencial dS é um diferencial exato, isto é, existe uma função S(x,y) tal que dS = \left(\partial S/\partial x\right)dx + \left(\partial S/\partial y\right)dy.
  • Para uma diferencial na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy, um critério simples (quando M,N são suficientemente suaves) para que seja exata é verificar que \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Se isto vale, então existe S tal que dS=M\,dx+N\,dy.
    Aqui vamos usar as variáveis naturais T e V (temperatura e volume) para escrever dS e checar exatidão.

Passo 3

Regra da primeira lei e propriedade do gás ideal:
A primeira lei da termodinâmica para um processo infinitesimal reversible dá
dU = dQ_{\text{rev}} - dW_{\text{rev}}.
Para trabalho reversível dW_{\text{rev}} = p\,dV. Para um gás ideal a energia interna depende somente da temperatura, portanto
dU = nC_V\,dT.
Logo isolando dQ_{\text{rev}} temos
dQ_{\text{rev}} = dU + p\,dV = nC_V\,dT + p\,dV.

Passo 4

Substituição do p pelo gás ideal e colocação sobre T:
Usando a equação do gás ideal \,pV=nRT\,, obtemos
p = \frac{nRT}{V}.
Substituindo em dQ_{\text{rev}} e dividindo por T (porque entropia elemental é dS=\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}) temos
\frac{dQ_{\text{rev}}}{T} = \frac{nC_V\,dT}{T} + \frac{p\,dV}{T} = nC_V\frac{dT}{T} + \frac{nRT}{V}\cdot\frac{dV}{T}.
Simplificando o segundo termo:
\frac{dQ_{\text{rev}}}{T} = nC_V\frac{dT}{T} + nR\frac{dV}{V}.

Passo 5

Verificação explícita de que isso é um diferencial exato:
Escrevemos
\frac{dQ_{\text{rev}}}{T} = nC_V\frac{dT}{T} + nR\frac{dV}{V}.
No formato M(T,V)\,dT + N(T,V)\,dV temos
M(T,V) = nC_V\frac{1}{T},\qquad N(T,V)=nR\frac{1}{V}.
Calcule as derivadas mistas:
\frac{\partial M}{\partial V} = \frac{\partial}{\partial V}\!\left(nC_V\frac{1}{T}\right)=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial T} = \frac{\partial}{\partial T}\!\left(nR\frac{1}{V}\right)=0.
Como \partial M/\partial V = \partial N/\partial T, a forma diferencial é exata. Portanto existe uma função S(T,V) tal que
dS = \frac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
Isto prova que, para o caso considerado (gás ideal em processo reversível), a entropia é função de estado.

Passo 6

Integração para obter expressão explícita de S:
Como a forma é exata e já está escrita como soma de diferenciais logarítmicos, podemos integrar diretamente:
dS = nC_V\frac{dT}{T} + nR\frac{dV}{V} = nC_V\,d(\ln T) + nR\,d(\ln V).
Integrando entre um estado 1 e um estado 2 obtemos
\Delta S = S_2-S_1 = nC_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Ou, escolhendo uma primitiva S(T,V),
S(T,V) = nC_V\ln T + nR\ln V + \text{const.}
A constante depende da escolha da referência de entropia, mas não muda a diferença de entropia entre dois estados.

Passo 7

Exemplo de verificação por caminhos diferentes (mostrando independência de caminho):
Suponha que eu vá do estado 1 ao estado 2 por um caminho composto: primeiro isoterma T=T_1 e depois isocórica V=V_2. Pela expressão integrada o resultado para \Delta S é o mesmo que se fizer outro caminho qualquer, porque depende só de T_1,T_2,V_1,V_2. Especificamente: para um processo isoterma T_1=T_2 a mudança de entropia é
\Delta S = nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right),
enquanto para isocórico V_1=V_2 obtemos
\Delta S = nC_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Se aplicarmos a sequência isoterma + isocórica, ao somar as duas contribuições chegamos à mesma expressão geral do passo anterior, confirmando a independência do caminho.

Passo 8

Resumo final e interpretação física curta (para motivar):
Mostramos algebraicamente que \,dS=\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}=nC_V\frac{dT}{T}+nR\frac{dV}{V}\, é um diferencial exato; integrando obtemos S(T,V)=nC_V\ln T + nR\ln V + \text{const.} Assim a entropia é função de estado para um gás ideal em processo reversível: seu valor entre dois estados depende apenas dos estados, não do caminho. Isso é coerente com a ideia física de que entropia mede uma propriedade do estado macroscópico (aqui relacionada a T e V) quando as transformações são reversíveis.

Resposta

\displaystyle S(T,V)=nC_V\ln T + nR\ln V + \text{const.}
\displaystyle \Delta S = nC_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

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