Prove que a entropia é uma função de estado para o caso especial no qual um gás ideal passa por um processo reversível.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que a entropia é uma função de estado no caso especial em que um gás ideal passa por um processo reversível.
Informações dadas / assumidas (explícitas ou típicas do problema):
O sistema é um gás ideal, obedecendo a equação de estado
O processo é reversível, isto é, as trocas de calor ocorrem de forma reversível; o trabalho reversível é
.
Podemos usar que a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, daí
(onde
é a capacidade térmica molar a volume constante).
Pergunta concreta a responder: mostrar que a quantidade diferencial é um diferencial exato (depende só dos estados inicial e final), e obter a expressão de mudança de entropia entre dois estados.
Informações dadas / assumidas (explícitas ou típicas do problema):
Pergunta concreta a responder: mostrar que a quantidade diferencial
Passo 2
Conceitos básicos necessários (explicados bem devagar):
O que significa “função de estado” e “diferencial exato”?
O que significa “função de estado” e “diferencial exato”?
- Uma grandeza
é função de estado se o seu diferencial é um diferencial exato, isto é, existe uma função tal que . - Para uma diferencial na forma
, um critério simples (quando são suficientemente suaves) para que seja exata é verificar que . Se isto vale, então existe tal que .
Aqui vamos usar as variáveis naturaise (temperatura e volume) para escrever e checar exatidão.
Passo 3
Regra da primeira lei e propriedade do gás ideal:
A primeira lei da termodinâmica para um processo infinitesimal reversible dá
A primeira lei da termodinâmica para um processo infinitesimal reversible dá
Para trabalho reversível
. Para um gás ideal a energia interna depende somente da temperatura, portanto
Logo isolando
temos
Passo 4
Substituição do
pelo gás ideal e colocação sobre
:
Usando a equação do gás ideal , obtemos
Usando a equação do gás ideal
Substituindo em
e dividindo por
(porque entropia elemental é
) temos
Simplificando o segundo termo:
Passo 5
Verificação explícita de que isso é um diferencial exato:
Escrevemos
Escrevemos
No formato
temos
Calcule as derivadas mistas:
Como
, a forma diferencial é exata. Portanto existe uma função
tal que
Isto prova que, para o caso considerado (gás ideal em processo reversível), a entropia é função de estado.
Passo 6
Integração para obter expressão explícita de
:
Como a forma é exata e já está escrita como soma de diferenciais logarítmicos, podemos integrar diretamente:
Como a forma é exata e já está escrita como soma de diferenciais logarítmicos, podemos integrar diretamente:
Integrando entre um estado 1 e um estado 2 obtemos
Ou, escolhendo uma primitiva
,
A constante depende da escolha da referência de entropia, mas não muda a diferença de entropia entre dois estados.
Passo 7
Exemplo de verificação por caminhos diferentes (mostrando independência de caminho):
Suponha que eu vá do estado 1 ao estado 2 por um caminho composto: primeiro isoterma e depois isocórica
. Pela expressão integrada o resultado para
é o mesmo que se fizer outro caminho qualquer, porque depende só de
. Especificamente: para um processo isoterma
a mudança de entropia é
Suponha que eu vá do estado 1 ao estado 2 por um caminho composto: primeiro isoterma
enquanto para isocórico
obtemos
Se aplicarmos a sequência isoterma + isocórica, ao somar as duas contribuições chegamos à mesma expressão geral do passo anterior, confirmando a independência do caminho.
Passo 8
Resumo final e interpretação física curta (para motivar):
Mostramos algebraicamente que é um diferencial exato; integrando obtemos
Assim a entropia é função de estado para um gás ideal em processo reversível: seu valor entre dois estados depende apenas dos estados, não do caminho. Isso é coerente com a ideia física de que entropia mede uma propriedade do estado macroscópico (aqui relacionada a
e
) quando as transformações são reversíveis.
Mostramos algebraicamente que