Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância, 10^-4 farad. Encontre a carga q ( t ) no capacitor se q ( 0 )=0. Encontre a corrente i(t).
Sugestão: R cdot d qd t+1C q=E(t) e i=d qd t
R: q(t)=0,01-0,01 e^-t / 0,02 ; i(t)=0,5 e^-50 t

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: uma força eletromotriz de 100 volts está aplicada em um circuito série que tem uma resistência de 200 ohms e uma capacitância de 10^-4 farads. Precisamos descobrir qual é a carga $ q(t) $ no capacitor ao longo do tempo, começando de zero, ou seja, $ q(0) = 0 $, e também a corrente $ i(t) $ no circuito. Para isso, vamos usar as equações que relacionam resistência, capacitância, carga e corrente em circuitos R-C.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que descreve esse circuito R-C série. Em um circuito R-C, a soma das quedas de tensão na resistência e no capacitor é igual à força eletromotriz aplicada. A equação fica assim:
R cdot dqdt + 1C q = E(t)
Aqui, $ \frac{dq}{dt} $ representa a taxa de variação da carga, que é justamente a corrente $ i(t) $, e $ E(t) $ é a força eletromotriz, que no nosso caso é constante, 100 volts.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na equação. Sabemos que $ R = 200 $ ohms, $ C = 10^{-4} $ farads e $ E(t) = 100 $ volts. Substituindo:
R = 200
Como $ \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 $, a equação fica:
C = 10^-4

Passo 4

Para simplificar, vamos dividir toda a equação por 200:
dqdt + 10^4200 q = 100200
Isso resulta em:
dqdt + 50 q = 0.5

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
dqdt + P(t) q = Q(t)
onde $ P(t) = 50 $ e $ Q(t) = 0.5 $. Para resolver essa equação, usamos o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a integrar a equação. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
P(t) = 50

Passo 6

Vamos multiplicar toda a equação pela $ \mu(t) $:
mu(t)
A parte da esquerda da equação agora se torna a derivada do produto $ e^{50t} q $:
e^50t cdot dqdt + 50 e^50t q = 0.5 e^50t

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
t
Isso resulta em:
integral ddt (e^50t q) dt = integral 0.5 e^50t dt
Simplificando:
e^50t q = 0.550 e^50t + C

Passo 8

Agora, vamos isolar $ q(t) $ dividindo ambos os lados por $ e^{50t} $:
q(t)

Passo 9

Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ q(0) = 0 $:
C
q(0) = 0
0 = 0.01 + C e^0

Passo 10

Substituindo o valor de $ C $ na expressão de $ q(t) $:
C

Passo 11

Agora, para encontrar a corrente $ i(t) $, lembramos que ela é a derivada da carga em relação ao tempo:
i(t)
Derivando $ q(t) $:
i(t) = dqdt
q(t)
i(t) = ddt (0.01 - 0.01 e^-50t)

Resposta

A carga no capacitor é $ q(t) = 0.01 - 0.01 e^{-50t} $ coulombs e a corrente no circuito é $ i(t) = 0.5 e^{-50t} $ amperes.

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