Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito
em série no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância,
farad. Encontre a carga
no capacitor se
. Encontre a corrente
.
Sugestão:
e
Sugestão:
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: uma força eletromotriz de 100 volts está aplicada em um circuito série que tem uma resistência de 200 ohms e uma capacitância de
farads. Precisamos descobrir qual é a carga $ q(t) $ no capacitor ao longo do tempo, começando de zero, ou seja, $ q(0) = 0 $, e também a corrente $ i(t) $ no circuito. Para isso, vamos usar as equações que relacionam resistência, capacitância, carga e corrente em circuitos R-C.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que descreve esse circuito R-C série. Em um circuito R-C, a soma das quedas de tensão na resistência e no capacitor é igual à força eletromotriz aplicada. A equação fica assim:
Aqui, $ \frac{dq}{dt} $ representa a taxa de variação da carga, que é justamente a corrente $ i(t) $, e $ E(t) $ é a força eletromotriz, que no nosso caso é constante, 100 volts.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na equação. Sabemos que $ R = 200 $ ohms, $ C = 10^{-4} $ farads e $ E(t) = 100 $ volts. Substituindo:
Como $ \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 $, a equação fica:
Passo 4
Para simplificar, vamos dividir toda a equação por 200:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde $ P(t) = 50 $ e $ Q(t) = 0.5 $. Para resolver essa equação, usamos o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a integrar a equação. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Passo 6
Vamos multiplicar toda a equação pela $ \mu(t) $:
A parte da esquerda da equação agora se torna a derivada do produto $ e^{50t} q $:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Isso resulta em:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos isolar $ q(t) $ dividindo ambos os lados por $ e^{50t} $:
Passo 9
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ q(0) = 0 $:
Passo 10
Substituindo o valor de $ C $ na expressão de $ q(t) $:
Passo 11
Agora, para encontrar a corrente $ i(t) $, lembramos que ela é a derivada da carga em relação ao tempo:
Derivando $ q(t) $:
Resposta
A carga no capacitor é $ q(t) = 0.01 - 0.01 e^{-50t} $ coulombs e a corrente no circuito é $ i(t) = 0.5 e^{-50t} $ amperes.