Resolva as equações diferenciais de 1^a ordem lineares:
(y^2+1) d x+(2 x y+1) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem (y^2+1),dx + (2xy+1),dy = 0. O conteúdo envolvido é o método de equações exatas, então precisamos verificar se existe uma função potencial psi(x,y) tal que dpsi = M,dx + N,dy.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = y^2+1 e N(x,y) = 2xy + 1. Calculamos as derivadas parciais partial M/partial y = 2y e partial N/partial x = 2y. Como coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial psi(x,y), integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integral (y^2+1),dx = x(y^2+1) + h(y)

Passo 4

Derivamos psi em relação a y e igualamos a N para determinar h(y):
partialpsi/partial y = 2xy + h'(y) = 2xy + 1,
daí h'(y) = 1 e integrando obtemos h(y) = y.

Passo 5

Substituindo h(y) em psi e igualando a constante C, a solução geral implícita fica:
psi(x,y) = x(y^2+1) + y = C

Resposta

x(y^2+1) + y = C

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