Resolva as equações diferenciais de 1^a ordem lineares:
(sen^2 x-y) d x-tg x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear (sin^2 x - y),dx - tan x,dy = 0. O conteúdo é equação linear de 1ª ordem e vamos precisar colocar na forma padrão dydx + P(x),y = Q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Colocando em forma explícita de derivada, dividimos por tan x e obtemos:
dydx + cot x,y = sin xcos x

Passo 3

Identificamos P(x)=cot x e Q(x)=sin xcos x. O fator integrante é
mu(x)=e^integral cot x,dx=e^ln|sin x|=sin x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x)=sin x, o lado esquerdo vira derivada de produto:
sin xdydx+sin xcot x,y=sin^2 xcos x
ddx(sin x,y)=sin^2 xcos x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
sin x,y=integralsin^2 xcos x,dx=sin^3 x3+C

Passo 6

Isolando y, temos
y=sin^3 x3sin x+Ccsc x=sin^2 x3+Ccsc x

Resposta

y=sin^2 x3+Ccsc x

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