Uma substância radioativa decompõe-se a uma razão proporcional à quantidade presente, e no fim de 1500 anos reduz-se à metade da quantidade original. Em quantos anos, a quantidade original se reduz a três quartos? Qual a quantidade da substância encontrada no fim de 2000 anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a decomposição de uma substância radioativa que diminui de forma proporcional à quantidade presente ao longo do tempo. Isso significa que estamos lidando com decadimento exponencial. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do decaimento exponencial e entender como aplicar os dados fornecidos na questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do decaimento exponencial:
N(t) = N0 cdot e^-kt
Onde:
  • N(t) é a quantidade da substância no tempo t .
  • N0 é a quantidade inicial da substância.
  • k é a constante de decaimento.
  • e é a base do logaritmo natural (~2,718).
A questão nos diz que após 1500 anos, a quantidade se reduz à metade. Vamos usar isso para encontrar k .
Sabemos que:
N(1500)N0 = 12 = e^-k cdot 1500

Passo 3

Agora, vamos resolver para k . Primeiro, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar:
ln(12) = -k cdot 1500
Sabemos que ln(12) = -ln(2) , então:
-ln(2) = -k cdot 1500
Cancelando os sinais negativos:
ln(2) = k cdot 1500
Isolando k :
k = ln(2)1500

Passo 4

Agora que temos k , podemos encontrar em quantos anos a quantidade se reduz a três quartos. Vamos usar a mesma fórmula:
N(t)N0 = 34 = e^-kt
Substituindo k pela expressão que encontramos:
34 = e^-(ln(2)1500) t
Aplicando logaritmo natural nos dois lados:
ln(34) = -(ln(2)1500) t
Isolando t :
t = 1500 cdot ln(43)ln(2)
Calculando:
t approx 1500 cdot 0,2876820,693147 approx 1500 cdot 0,415037 approx 622,56 anos

Passo 5

Por fim, vamos calcular a quantidade da substância encontrada após 2000 anos usando a fórmula do decaimento:
N(2000) = N0 cdot e^-k cdot 2000
Substituindo k = ln(2)1500 :
N(2000) = N0 cdot e^-(ln(2)1500) cdot 2000 = N0 cdot e^-20001500 ln(2) = N0 cdot e^-43 ln(2) = N0 cdot (e^ln(2))^-43 = N0 cdot 2^-43 approx N0 cdot 0,39685
Então, após 2000 anos, aproximadamente 39,685% da quantidade inicial permanecem.

Resposta

Após aproximadamente 623 anos, a quantidade original se reduz a três quartos. No fim de 2000 anos, resta cerca de 39,7% da quantidade inicial da substância.

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