Uma substância radioativa decompõe-se a uma razão proporcional à quantidade presente, e no fim de 1500 anos reduz-se à metade da quantidade original. Em quantos anos, a quantidade original se reduz a três quartos? Qual a quantidade da substância encontrada no fim de 2000 anos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a decomposição de uma substância radioativa que diminui de forma proporcional à quantidade presente ao longo do tempo. Isso significa que estamos lidando com decadimento exponencial. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do decaimento exponencial e entender como aplicar os dados fornecidos na questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do decaimento exponencial:
Onde:
-
é a quantidade da substância no tempo . -
é a quantidade inicial da substância. -
é a constante de decaimento. -
é a base do logaritmo natural (~2,718).
A questão nos diz que após 1500 anos, a quantidade se reduz à metade. Vamos usar isso para encontrar
.
Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar:
Sabemos que
, então:
Cancelando os sinais negativos:
Isolando
:
Passo 4
Agora que temos
, podemos encontrar em quantos anos a quantidade se reduz a três quartos. Vamos usar a mesma fórmula:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Aplicando logaritmo natural nos dois lados:
Isolando
:
Calculando:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a quantidade da substância encontrada após 2000 anos usando a fórmula do decaimento:
Substituindo
:
Então, após 2000 anos, aproximadamente 39,685% da quantidade inicial permanecem.
Resposta
Após aproximadamente 623 anos, a quantidade original se reduz a três quartos. No fim de 2000 anos, resta cerca de 39,7% da quantidade inicial da substância.