A força exercida sobre uma partícula esférica, com diânetro D , que se movimenta lentamente num líquido, P , é dada por
P=3 pi mu D V
Em que mu é a vicosidade dinâmica do fluido e V é a velocidade da partícula. Qual a dimensão da constante 3 pi. Esta equação é do tipo geral homogêneo?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a força sobre uma partícula esférica (diâmetro D) se movimentando devagar num líquido é
P ;=; 3pi,mu,D,V
onde μ é a viscosidade dinâmica do fluido e V é a velocidade. A pergunta pede:
  1. Qual a dimensão da constante ?
  2. Essa equação é do tipo geral homogêneo (i.e., é dimensionalmente consistente)?
O que vamos usar: análise dimensional – descobrir a “unidade” de cada grandeza (força, viscosidade, comprimento e velocidade) e ver o que sobra pro .

Passo 2

Primeiro, anota as dimensões de cada coisa:
  • Força [mu] = [tau][dv/dx] = [ML⁻¹T⁻²][LT⁻¹]/[L] = [ML⁻¹T⁻¹] : [M L T⁻²]
  • Viscosidade dinâmica μ: pela definição e tensão tem dimensão de pressão [M L⁻¹ T⁻²], então ¹²¹¹¹
  • Diâmetro D: [L]
  • Velocidade V: [L T⁻¹]

Passo 3

Agora expressa a dimensão do lado direito [mu,D,V] = ([ML⁻¹T⁻¹])times([L])times([LT⁻¹]) = [MLT⁻²] , mas mata o [P] = [3pi];times;[mu D V] ;Longrightarrow; [MLT⁻²] = [3pi];times;[MLT⁻²] e vê o produto:
¹¹¹²
Logo,
²²

Passo 4

Pra as duas dimensões baterem, [3pi] = 1 (dimensão: nenhuma!) tem que ser adimensional (isto é, não traz nem M nem L nem T). Portanto:
ã
E como o produto já deu exatamente [M L T⁻²], o lado direito e o esquerdo conferem — a equação é dimensionamente homogênea.

Resposta

  1. A constante é adimensional.
  2. Sim, a equação é do tipo geral homogêneo (dimensionalmente consistente).

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