Uma força é expressa por
, onde
é dado em metros. Calcule o trabalho necessário para levar uma partícula sujeita a esta força, de
até o infinito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma força que depende da posição, dada por $ F(x) = 3x \cdot e^{-x/5} $ Newtons, onde $ x $ está em metros. A pergunta é: quanto trabalho é preciso para mover uma partícula nessa força do ponto $ x = 0 $ até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de trabalho na física, que envolve integração quando a força varia com a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho $ W $ feito por uma força variável é calculado pela integral da força em relação ao deslocamento. Ou seja:
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = \infty $, então:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de $ x \cdot e^{-x/5} $ pode ser feita por partes ou reconhecendo uma forma padrão. Aqui, vamos usar a fórmula da integração por partes, que diz:
Escolhemos $ u = x $ e $ dv = e^{-x/5} , dx $. Então, calculamos $ du $ e $ v $:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
A gente já sabe que $ \int e^{-x/5} , dx = -5 e^{-x/5} $, então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Agora, voltando ao nosso cálculo do trabalho:
Vamos avaliar isso nos limites de integração.
Passo 6
Primeiro, quando $ x $ vai para o infinito:
Isso porque $ e^{-x/5} $ decai mais rápido que $ x $ cresce, fazendo todo o termo ir para zero.
Segundo, quando $ x = 0 $:
Então, o valor da integral fica:
Multiplicando pelo 3:
Resposta
O trabalho necessário para levar a partícula de $ x = 0 $ até o infinito é de 75 Joules.