Uma força é expressa por F(x)=3 x cdot exp (-x / 5) N, onde x é dado em metros. Calcule o trabalho necessário para levar uma partícula sujeita a esta força, de x=0 até o infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma força que depende da posição, dada por $ F(x) = 3x \cdot e^{-x/5} $ Newtons, onde $ x $ está em metros. A pergunta é: quanto trabalho é preciso para mover uma partícula nessa força do ponto $ x = 0 $ até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de trabalho na física, que envolve integração quando a força varia com a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho $ W $ feito por uma força variável é calculado pela integral da força em relação ao deslocamento. Ou seja:
W
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = \infty $, então:
W = integrala^b F(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de $ x \cdot e^{-x/5} $ pode ser feita por partes ou reconhecendo uma forma padrão. Aqui, vamos usar a fórmula da integração por partes, que diz:
x cdot e^-x/5
Escolhemos $ u = x $ e $ dv = e^{-x/5} , dx $. Então, calculamos $ du $ e $ v $:
integral u , dv = uv - integral v , du
u = x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cdot e^-x/5 , dx = -5x e^-x/5 + 5 integral e^-x/5 , dx
A gente já sabe que $ \int e^{-x/5} , dx = -5 e^{-x/5} $, então:
integral e^-x/5 , dx = -5 e^-x/5
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Agora, voltando ao nosso cálculo do trabalho:
W = 3 integral0^infty x cdot e^-x/5 , dx = 3 [ -5x e^-x/5 - 25 e^-x/5 ]0^infty
Vamos avaliar isso nos limites de integração.

Passo 6

Primeiro, quando $ x $ vai para o infinito:
x
Isso porque $ e^{-x/5} $ decai mais rápido que $ x $ cresce, fazendo todo o termo ir para zero.
Segundo, quando $ x = 0 $:
limx to infty (-5x e^-x/5 - 25 e^-x/5) = 0
Então, o valor da integral fica:
e^-x/5
Multiplicando pelo 3:
x

Resposta

O trabalho necessário para levar a partícula de $ x = 0 $ até o infinito é de 75 Joules.

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