Uma força F=6 i-2 j N age sobre uma partícula que sofre um deslocamento d=3 i+j m. Determine o produto interno e o ângulo entre F e d.

Passo 1

Então, temos um exercício onde uma força F = 6 i - 2 j N está agindo sobre uma partícula que se desloca por d = 3 i + j metros. Vamos precisar usar conceitos de produto interno (também conhecido como produto escalar) e ângulo entre vetores para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno entre F e d. O produto interno de dois vetores A = Ax i + Ay j e B = Bx i + By j é dado por:
A cdot B = Ax Bx + Ay By
Isso basicamente multiplica as componentes correspondentes dos vetores e soma os resultados.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
F cdot d = (6)(3) + (-2)(1) = 18 - 2 = 16 , J
Então, o produto interno entre F e d é 16 J (joules).

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo entre os vetores. A relação entre o produto interno e o ângulo theta é dada por:
F cdot d = |F| , |d| cos(theta)
Para encontrar theta, rearranjamos a equação:
cos(theta) = F cdot d|F| , |d|
E então aplicamos a função arco cosseno (cos⁻¹) para encontrar o ângulo.

Passo 5

Primeiro, calculamos os módulos dos vetores:
|F| = raiz6^2 + (-2)^2 = raiz36 + 4 = raiz40 = 2raiz10 , N
|d| = raiz3^2 + 1^2 = raiz9 + 1 = raiz10 , m
Agora, substituímos na fórmula do ângulo:
cos(theta) = 162raiz10 times raiz10 = 1620 = 0,8
Então,
theta = cos^-1(0,8) approx 36,87^circ

Resposta

O produto interno entre F e d é 16 J e o ângulo entre eles é aproximadamente 36,87 graus.

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