Três vectores são dados por a=2 i-3 j-k, b=i-j-k e c=i+j-2 k. Determine:
а) a+b-c
b) a cdot(b times c)
c) a cdot(b-c)
d) a times(b-c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores:
a = 2,i - 3,j - k, b = i - j - k, c = i + j - 2,k
E precisamos resolver quatro partes:
a) a + b - c
b) a cdot (b times c)
c) a cdot (b - c)
d) a times (b - c)
Vamos resolver cada uma passo a passo, explicando o que tá rolando!

Passo 2

Parte a) a + b - c
Primeiro, vamos somar e subtrair os vetores componente a componente. Lembra que cada vetor tem três partes: i, j e k.
a + b = (2,i + i) + (-3,j - j) + (-k - k) = 3,i - 4,j - 2,k
Agora, subtraímos c:
3,i - 4,j - 2,k - (i + j - 2,k) = (3-1),i + (-4-1),j + (-2 + 2),k = 2,i - 5,j + 0,k

Passo 3

Parte b) a cdot (b times c)
Aqui, a gente vai calcular o produto misto, que envolve o produto vetorial b times c e depois o produto escalar com a.
Primeiro, vamos encontrar b times c. O produto vetorial de dois vetores u = ux,i + uy,j + uz,k e v = vx,i + vy,j + vz,k é dado por:
u times v = (uy vz - uz vy),i - (ux vz - uz vx),j + (ux vy - uy vx),k
Aplicando isso a b e c:
b times c = i & j & k 1 & -1 & -1 1 & 1 & -2 = icdot((-1)(-2) - (-1)(1)) - jcdot((1)(-2) - (-1)(1)) + kcdot((1)(1) - (-1)(1))
= icdot(2 + 1) - jcdot(-2 + 1) + kcdot(1 + 1) = 3,i + j + 2,k
Agora, fazemos o produto escalar com a:
a cdot (b times c) = (2)(3) + (-3)(1) + (-1)(2) = 6 - 3 - 2 = 1

Passo 4

Parte c) a cdot (b - c)
Primeiro, subtraímos os vetores b e c:
b - c = (i - j - k) - (i + j - 2,k) = (1-1),i + (-1-1),j + (-1 + 2),k = 0,i - 2,j + 1,k
Agora, fazemos o produto escalar com a:
a cdot (b - c) = (2)(0) + (-3)(-2) + (-1)(1) = 0 + 6 - 1 = 5

Passo 5

Parte d) a times (b - c)
Já calculamos b - c na parte c):
b - c = 0,i - 2,j + 1,k
Agora, vamos calcular o produto vetorial a times (b - c). Usando a mesma fórmula do produto vetorial que usamos na parte b):
a times (b - c) = i & j & k 2 & -3 & -1 0 & -2 & 1 = icdot((-3)(1) - (-1)(-2)) - jcdot((2)(1) - (-1)(0)) + kcdot((2)(-2) - (-3)(0))
= icdot(-3 - 2) - jcdot(2 - 0) + kcdot(-4 - 0) = -5,i - 2,j -4,k

Resposta

a) a + b - c = 2,i - 5,j
b) a cdot (b times c) = 1
c) a cdot (b - c) = 5
d) a times (b - c) = -5,i - 2,j -4,k

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