O vector
é perpendicular aos vectores
e
. Ache as suas coordenadas, sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos diz que o vetor
é perpendicular aos vetores
e
. Além disso, sabemos que o comprimento de
é 14. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e propriedades de vetores perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Ou seja,
e
. Vamos chamar as coordenadas de
de
. Assim, podemos escrever:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 4
Agora, calculamos o produto escalar
:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Como temos mais incógnitas do que equações, precisamos de mais informações para resolver. Aqui, a informação extra é que o comprimento de
é 14, ou seja:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Podemos multiplicar a equação (1) por 6 para facilitar a eliminação:
Agora subtraímos a equação (2) da equação (4):
Podemos simplificar dividindo por 17:
Passo 7
Agora, substituímos a equação (5) na equação (1):
Passo 8
Agora, sabemos que
e
. Vamos substituir essas expressões na equação (3) para encontrar
:
Passo 9
Vamos considerar os dois casos para
:
-
Caso 1:Então,
-
Caso 2:Então,
Resposta
As coordenadas do vetor
são
ou
.