O vector x é perpendicular aos vectores a=3 i+2 j+2 k e b=18 i-22 j-5 k. Ache as suas coordenadas, sabendo que |x|=14

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos diz que o vetor x é perpendicular aos vetores a = 3i + 2j + 2k e b = 18i - 22j - 5k. Além disso, sabemos que o comprimento de x é 14. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de x. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e propriedades de vetores perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Ou seja, x cdot a = 0 e x cdot b = 0. Vamos chamar as coordenadas de x de (x, y, z). Assim, podemos escrever:
x = xi + yj + zk

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar x cdot a:
x cdot a = (x)(3) + (y)(2) + (z)(2) = 3x + 2y + 2z = 0
Isso nos dá a primeira equação:
3x + 2y + 2z = 0 (1)

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar x cdot b:
x cdot b = (x)(18) + (y)(-22) + (z)(-5) = 18x - 22y - 5z = 0
Isso nos dá a segunda equação:
18x - 22y - 5z = 0 (2)

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
3x + 2y + 2z = 0 18x - 22y - 5z = 0
Como temos mais incógnitas do que equações, precisamos de mais informações para resolver. Aqui, a informação extra é que o comprimento de x é 14, ou seja:
|x| = raizx^2 + y^2 + z^2 = 14 Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 196 (3)

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Podemos multiplicar a equação (1) por 6 para facilitar a eliminação:
6(3x + 2y + 2z) = 18x + 12y + 12z = 0 (4)
Agora subtraímos a equação (2) da equação (4):
(18x + 12y + 12z) - (18x - 22y - 5z) = 0 0x + 34y + 17z = 0 Rightarrow 34y + 17z = 0
Podemos simplificar dividindo por 17:
2y + z = 0 Rightarrow z = -2y (5)

Passo 7

Agora, substituímos a equação (5) na equação (1):
3x + 2y + 2(-2y) = 3x + 2y - 4y = 3x - 2y = 0 3x = 2y Rightarrow x = 23y (6)

Passo 8

Agora, sabemos que x = 23y e z = -2y. Vamos substituir essas expressões na equação (3) para encontrar y:
(23y)^2 + y^2 + (-2y)^2 = 196 49y^2 + y^2 + 4y^2 = 196 (49 + 1 + 4)y^2 = 196 (49 + 99 + 369)y^2 = 196 499y^2 = 196 y^2 = 196 times 949 y^2 = 36 y = pm 6

Passo 9

Vamos considerar os dois casos para y:
  • Caso 1: y = 6
    x = 23(6) = 4 z = -2(6) = -12
    Então, x = 4i + 6j -12k
  • Caso 2: y = -6
    x = 23(-6) = -4 z = -2(-6) = 12
    Então, x = -4i -6j +12k

Resposta

As coordenadas do vetor x são x = 4i + 6j -12k ou x = -4i -6j +12k.

Exercícios relacionados