Sejam a=i+2 j+2 k, b=-3 k e c=-2 i+4 j-3 k. Calcule |a| ;|b| ;|c| ; a cdot b ; a X b, a X c e a times b

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três vetores: a = i + 2j + 2k, b = -3k e c = -2i + 4j - 3k. Precisamos calcular:
  1. As normas (comprimentos) de a, b e c.
  2. O produto escalar a cdot b.
  3. Os produtos vetoriais a times b e a times c.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente como calcular normas, produtos escalares e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do vetor a. A norma de um vetor v = vxi + vyj + vzk é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Aplicando isso para a:
|a| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma do vetor b. Considerando b = -3k:
|b| = raiz0^2 + 0^2 + (-3)^2 = raiz0 + 0 + 9 = raiz9 = 3

Passo 4

Vamos calcular a norma do vetor c:
|c| = raiz(-2)^2 + 4^2 + (-3)^2 = raiz4 + 16 + 9 = raiz29 approx 5,385

Passo 5

Agora, o produto escalar entre a e b é calculado da seguinte forma:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Como b = -3k, seus componentes são bx = 0, by = 0, bz = -3. Então:
a cdot b = (1)(0) + (2)(0) + (2)(-3) = 0 + 0 - 6 = -6

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial a times b. O produto vetorial entre dois vetores u = uxi + uyj + uzk e v = vxi + vyj + vzk é dado por:
u times v = (uy vz - uz vy)i - (ux vz - uz vx)j + (ux vy - uy vx)k
Aplicando para a times b:
a times b = (2 cdot (-3) - 2 cdot 0)i - (1 cdot (-3) - 2 cdot 0)j + (1 cdot 0 - 2 cdot 0)k = (-6)i - (-3)j + 0k = -6i + 3j

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times c:
a times c = (2 cdot (-3) - 2 cdot 4)i - (1 cdot (-3) - 2 cdot (-2))j + (1 cdot 4 - 2 cdot (-2))k
Calculando cada componente:
  • Componente i: (2)(-3) - (2)(4) = -6 - 8 = -14
  • Componente j: -( (1)(-3) - (2)(-2) ) = -(-3 + 4) = -1
  • Componente k: (1)(4) - (2)(-2) = 4 + 4 = 8
Então:
a times c = -14i - 1j + 8k

Resposta

As soluções para os cálculos são:
  • |a| = 3
  • |b| = 3
  • |c| approx 5,385
  • a cdot b = -6
  • a times b = -6i + 3j
  • a times c = -14i - j + 8k

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