Como a força gravitacional do Sol sobre um planeta é muito maior que a força exercida por outros astros, podemos ignorar todos os outros corpos, exceto o Sol, e um planeta girando em torno dele. Considere um sistema de coordenadas com o Sol em seu centro e seja
a posição do planeta. Sejam
a massa do planeta,
a massa do Sol,
a força da gravidade sobre o planeta,
a constante de Gravitação,
e
.
(b) Mostre que
e conclua que
é um vetor constante. Denote tal vetor
e suponha
, isto é, suponha que
não é paralelo a
.
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas as quantidades são funções de
quando aplicável):
- A posição do planeta é
. - A velocidade é
. - A aceleração é
. - A massa do planeta é
e a massa do Sol é . - A força gravitacional sobre o planeta é
. - A constante de gravitação é
. - Denotou-se
e . - A lei da gravitação (força central) vale
O que se pede:
- Mostrar que
. - Concluir que
é um vetor constante; denotá-lo por e supor (ou seja, não é paralelo a ).
Passo 2
Regra de derivação do produto vetorial e um passo imediato:
- Regra: para dois vetores dependentes do tempo
e vale
- Aplicando com
e obtemos
- Como
, o primeiro termo é
porque o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é sempre o vetor nulo (dois vetores paralelos têm produto vetorial zero).
Portanto
Passo 3
Relacionando
com a força e usando a forma da força gravitacional:
- Pela Segunda Lei de Newton,
- Logo
- Substituindo na expressão do passo anterior,
Passo 4
Explorar a forma da força gravitacional (força central) para anular o produto vetorial:
- Pelo enunciado
é dirigido ao longo de ; usando podemos escrever
ou seja,
é um escalar multiplicando
, portanto
é paralelo a
.
- Então
é proporcional a . Mas , logo
- Portanto, a derivada do produto vetorial é
Passo 5
Conclusão e interpretação física/matemática:
- Como
, o vetor é constante no tempo. - Denotando esse vetor constante por
,
- Se
, então não é paralelo a (pois o produto vetorial é nulo exatamente quando os vetores são paralelos ou quando um é nulo). Além disso, é perpendicular ao plano em que o movimento ocorre (o movimento do planeta fica confinado a um plano ortogonal a ).