Como a força gravitacional do Sol sobre um planeta é muito maior que a força exercida por outros astros, podemos ignorar todos os outros corpos, exceto o Sol, e um planeta girando em torno dele. Considere um sistema de coordenadas com o Sol em seu centro e seja r=\vec{r}(t) a posição do planeta. Sejam v=r^{\prime}, a=v^{\prime}, m a massa do planeta, M a massa do Sol, F a força da gravidade sobre o planeta, G a constante de Gravitação, \bar{r}=|r| e u=\frac{r}{\bar{r}}.
(b) Mostre que \frac{d}{d t}(r \times v)=0 e conclua que r \times v é um vetor constante. Denote tal vetor h e suponha h \neq 0, isto é, suponha que r não é paralelo a v.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as quantidades são funções de t quando aplicável):
  • A posição do planeta é r=\vec{r}(t).
  • A velocidade é v=r^{\prime}.
  • A aceleração é a=v^{\prime}.
  • A massa do planeta é m e a massa do Sol é M.
  • A força gravitacional sobre o planeta é F.
  • A constante de gravitação é G.
  • Denotou-se \bar{r}=|r| e u=\dfrac{r}{\bar{r}}.
  • A lei da gravitação (força central) vale
F = -G\,\dfrac{M m}{\bar{r}^{2}}\,u.
O que se pede:
  • Mostrar que \dfrac{d}{d t}\bigl(r\times v\bigr)=0.
  • Concluir que r\times v é um vetor constante; denotá-lo por h e supor h\neq 0 (ou seja, r não é paralelo a v).

Passo 2

Regra de derivação do produto vetorial e um passo imediato:
  • Regra: para dois vetores dependentes do tempo A(t) e B(t) vale
\frac{d}{dt}\bigl(A\times B\bigr)=A'\times B + A\times B'.
  • Aplicando com A=r e B=v obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(r\times v\bigr)=r'\times v + r\times v'.
  • Como r'=v, o primeiro termo é
r'\times v = v\times v = 0,
porque o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é sempre o vetor nulo (dois vetores paralelos têm produto vetorial zero).
Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(r\times v\bigr)=r\times v'.

Passo 3

Relacionando v' com a força e usando a forma da força gravitacional:
  • Pela Segunda Lei de Newton,
m\,a = m\,v' = F.
  • Logo
v'=\frac{F}{m}.
  • Substituindo na expressão do passo anterior,
\frac{d}{dt}\bigl(r\times v\bigr)=r\times v' = r\times\frac{F}{m}=\frac{1}{m}\,r\times F.

Passo 4

Explorar a forma da força gravitacional (força central) para anular o produto vetorial:
  • Pelo enunciado F é dirigido ao longo de r; usando u=\dfrac{r}{\bar{r}} podemos escrever
F=-G\,\dfrac{M m}{\bar{r}^{2}}\,u = -G\,\dfrac{M m}{\bar{r}^{3}}\,r,
ou seja, F é um escalar multiplicando r, portanto F é paralelo a r.
  • Então r\times F é proporcional a r\times r. Mas r\times r=0, logo
r\times F = 0.
  • Portanto, a derivada do produto vetorial é
\frac{d}{dt}\bigl(r\times v\bigr)=\frac{1}{m}\,r\times F = 0.

Passo 5

Conclusão e interpretação física/matemática:
  • Como \dfrac{d}{dt}\bigl(r\times v\bigr)=0, o vetor r\times v é constante no tempo.
  • Denotando esse vetor constante por h,
h = r\times v\qquad\text{(constante no tempo).}
  • Se h\neq 0, então r não é paralelo a v (pois o produto vetorial é nulo exatamente quando os vetores são paralelos ou quando um é nulo). Além disso, h é perpendicular ao plano em que o movimento ocorre (o movimento do planeta fica confinado a um plano ortogonal a h).

Resposta

\dfrac{d}{dt}\bigl(r\times v\bigr)=0, portanto r\times v=h é um vetor constante (com h\neq 0 implica que r não é paralelo a v).

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