Uma força horizontal constante \vec{F} atua sobre um corpo de massa m, produzindo uma aceleração de módulo 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Quando a mesma força \vec{F} é aplicada a um corpo de massa M, a aceleração observada tem módulo de 7,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) Qual é a razão entre as massas m / M ?
(b) Se os dois corpos forem unidos e a mesma força \vec{F} for aplicada ao conjunto, qual será a aceleração do sistema?

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte (tudo isso é dado):
  • Uma força horizontal constante \vec{F} é aplicada a um corpo de massa m e produz uma aceleração de módulo \,2,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. Ou seja, ao primeiro caso corresponde o par de valores:
a_1 = 2,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • A mesma força \vec{F} é aplicada a um outro corpo de massa M e produz uma aceleração de módulo \,7,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. Ou seja:
a_2 = 7,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
As perguntas do enunciado são:
(a) Qual é a razão entre as massas \dfrac{m}{M}?
(b) Se os dois corpos forem unidos e a mesma força \vec{F} for aplicada ao conjunto, qual será a aceleração do sistema (módulo)?

Passo 2

A equação que relaciona força, massa e aceleração é a segunda lei de Newton na sua forma escalar para a magnitude quando a força resultante é horizontal e única:
F = m\,a.
Explicando as letras:
  • F é o módulo da força resultante (em newtons, \mathrm{N});
  • m é a massa do corpo (em quilogramas, \mathrm{kg});
  • a é o módulo da aceleração (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}).
    No nosso problema a mesma F produz acelerações diferentes em massas diferentes.

Passo 3

Aplicando F = m a ao primeiro caso (massa m, aceleração a_1):
F = m \cdot 2,5.
Isolando m:
m = \frac{F}{2,5}.

Passo 4

Aplicando F = M a ao segundo caso (massa M, aceleração a_2):
F = M \cdot 7,5.
Isolando M:
M = \frac{F}{7,5}.

Passo 5

Agora formamos a razão \dfrac{m}{M} usando as expressões obtidas para m e M:
\frac{m}{M}=\frac{\dfrac{F}{2,5}}{\dfrac{F}{7,5}}.
Cancelando F (a mesma força aparece no numerador e no denominador) e simplificando:
\frac{m}{M}=\frac{7,5}{2,5}.
Fazendo a divisão 7,5\div 2,5=3. Logo
\frac{m}{M}=3.

Passo 6

Para a parte (b): quando os dois corpos são unidos, a massa total é m+M. Aplicando a mesma força F ao conjunto, a aceleração a do sistema é dada por
a=\frac{F}{m+M}.
Queremos calcular a usando os dados conhecidos. Podemos eliminar F usando uma das relações anteriores; por exemplo, da equação do segundo corpo temos F=M\cdot 7,5. Substituindo:
a=\frac{M\cdot 7,5}{m+M}.

Passo 7

Usamos a razão obtida em \dfrac{m}{M}=3, que implica m=3M. Substituindo em a:
a=\frac{M\cdot 7,5}{3M+M}=\frac{7,5M}{4M}.
Cancelando M:
a=\frac{7,5}{4}.

Passo 8

Para transformar \dfrac{7,5}{4} em uma forma mais prática sem calculadora: multiplicando numerador e denominador por 2 obtém-se \dfrac{15}{8}. Em forma decimal,
\frac{15}{8}=1,875.
Portanto a aceleração do sistema é
a=\frac{15}{8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}=1,875\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Resposta

\dfrac{m}{M}=3
\displaystyle a=\frac{15}{8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}=1,875\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}

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