Mostre que, se \mathbf{r} e \mathbf{F} estão num dado plano, o torque \tau=\mathbf{r} \times \mathbf{F} não possui componente naquele plano.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se \mathbf{r} e \mathbf{F} pertencem a um mesmo plano, então o torque
\tau = \mathbf{r}\times\mathbf{F}
não tem componente nesse plano.
O conteúdo envolvido é o produto vetorial, cuja propriedade fundamental é produzir um vetor perpendicular aos dois fatores.

Passo 2

Escolhemos dois vetores unitários \mathbf{u} e \mathbf{v} que formam uma base ortonormal do plano onde estão \mathbf{r} e \mathbf{F}.
Podemos escrever
\mathbf{r} = a\,\mathbf{u}+b\,\mathbf{v}, \quad \mathbf{F} = c\,\mathbf{u}+d\,\mathbf{v},
com a,b,c,d\in\mathbb{R}.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial usando distributividade:
\mathbf{r}\times\mathbf{F} =(a\,\mathbf{u}+b\,\mathbf{v})\times(c\,\mathbf{u}+d\,\mathbf{v}) =ac\,\mathbf{u}\times\mathbf{u} +ad\,\mathbf{u}\times\mathbf{v} +bc\,\mathbf{v}\times\mathbf{u} +bd\,\mathbf{v}\times\mathbf{v}.
Como \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0} e \mathbf{v}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}, e sabendo que \mathbf{v}\times\mathbf{u}=-\,\mathbf{u}\times\mathbf{v}, obtemos
\mathbf{r}\times\mathbf{F} =ad\,\mathbf{u}\times\mathbf{v} - bc\,\mathbf{u}\times\mathbf{v} =(ad - bc)\,\mathbf{u}\times\mathbf{v}.

Passo 4

O vetor \mathbf{u}\times\mathbf{v} é, por construção do produto vetorial, perpendicular tanto a \mathbf{u} quanto a \mathbf{v}. Logo ele é perpendicular ao plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}. Como
\tau = (ad - bc)\,\mathbf{u}\times\mathbf{v}
é paralelo a \mathbf{u}\times\mathbf{v}, concluímos que \tau não possui componente dentro do plano de \mathbf{r} e \mathbf{F}.

Resposta

O vetor torque \tau=\mathbf{r}\times\mathbf{F} é paralelo a \mathbf{u}\times\mathbf{v}, isto é, perpendicular ao plano de \mathbf{r} e \mathbf{F}, e portanto não tem componente naquele plano.

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