Q 6. (Força magnética e campo magnético) Um feixe de prótons é direcionado em uma linha reta ao longo do eixo +z através de uma região do espaço em que existem campos elétrios e magnéticos se cruzando. Se o campo elétrio é de 500 \mathrm{Vm}^{-1} na direção -y e os prótons se movem a uma velocidade constante de 10^{5} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, quais devem ser a magnitude, a direção e o sentido do campo magnético de modo que o feixe de prótons continue ao longo de sua trajetória em linha reta?

Passo 1

O enunciado diz que um feixe de prótons (carga positiva) move-se com velocidade constante \mathbf v ao longo do eixo +z e sofre um campo elétrico \mathbf E de 500\\ \mathrm{V/m} na direção -y. Para manter o movimento retilíneo uniforme, a força magnética deve cancelar a força elétrica. O conteúdo aqui é a força sobre carga em campos elétrico e magnético cruzados.

Passo 2

A força total sobre uma carga q é
\mathbf F = q\,\mathbf E \;+\; q\,(\mathbf v\times\mathbf B).
Para velocidade constante ao longo de uma linha reta, precisamos de \mathbf F=0. Como q>0, isso vira
\mathbf E + (\mathbf v\times\mathbf B)=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf v\times\mathbf B = -\,\mathbf E.

Passo 3

Vamos escrever os vetores conhecidos: \mathbf E = -500\,\hat y (em \mathrm{V/m}) e \mathbf v = 10^5\,\hat z (em \mathrm{m/s}).

Passo 4

A condição fica
10^5\,\hat z \times \mathbf B \;=\; -(-500\,\hat y) \;=\;500\,\hat y.
Dividindo ambos os lados por 10^5, obtemos
\hat z\times\mathbf B = \frac{500}{10^5}\,\hat y =5\times10^{-3}\,\hat y.

Passo 5

Agora expandimos o produto vetorial:
\hat z \times (B_x\hat x + B_y\hat y + B_z\hat z) = B_x\,(\hat z\times\hat x) + B_y\,(\hat z\times\hat y).
Como \hat z\times\hat x=\hat y e \hat z\times\hat y=-\hat x, resulta
\hat z\times\mathbf B = B_x\,\hat y \;-\; B_y\,\hat x.
Queremos isso igual a 5\times10^{-3}\,\hat y, logo
B_x = 5\times10^{-3}, \quad B_y = 0.
O componente B_z não entra no cruzamento com \hat z, então podemos tomá-lo nulo para simplicidade.

Passo 6

Portanto o campo magnético requerido é
\mathbf B = 5\times10^{-3}\,\hat x \quad(\text{em teslas}).
Isto é, B=5{\times}10^{-3}\,\mathrm T apontando no sentido +x.

Resposta

A magnitude do campo magnético deve ser 5\times10^{-3}\,\mathrm T, na direção do eixo x positivo.

Exercícios relacionados