(Circuito RC - descarga) Um capacitor carregado a uma carga inicial
é ligado a um resistor
, formando um circuito de descarga RC.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve a descarga do capacitor.
(b) Resolva a equação e obtenha
.
(c) Em um circuito com
e
, determine o tempo para que a carga caia a
do valor inicial.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve a descarga do capacitor.
(b) Resolva a equação e obtenha
(c) Em um circuito com
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) escrever a equação diferencial que descreve a descarga de um capacitor inicialmente carregado com carga
ligado a um resistor ; - (b) resolver essa equação e obter
, a carga no capacitor em função do tempo ; - (c) com
e , determinar o tempo para que a carga caia a do valor inicial .
Informações dadas:
- carga inicial:
(valor genérico); - resistor:
; - capacitor:
; - valores numéricos para o item (c):
e .
Passo 2
Montando a equação diferencial pelo circuito (Kirchhoff): ao fechar o circuito de descarga não há fonte de tensão, então a soma das quedas de tensão é zero. A queda no resistor é
e a tensão no capacitor é
, onde:
-
é a carga no capacitor no instante ; -
é a corrente no circuito no instante .
Pelo sinal e orientação escolhidos, a equação de malha é
Agora relacionamos corrente e carga: por definição, a corrente é a taxa de variação da carga no capacitor,
Substituindo na equação de malha obtemos a equação diferencial que descreve a descarga:
Passo 3
Simplificando a equação diferencial para uma forma padrão, dividimos por
:
Aqui:
-
é a incógnita (carga no capacitor); -
é o tempo; -
e são constantes do circuito.
É útil definir a constante de tempo do circuito
que tem unidades de tempo e determina a rapidez da descarga.
Passo 4
Vou resolver a equação diferencial por separação de variáveis. A equação
pode ser escrita como
Integramos ambos os lados. A integral de
é logaritmo natural:
onde
é a constante de integração. Como
será positivo durante a descarga (quando consideramos o módulo da carga), podemos eliminar o valor absoluto e escrever:
Exponenciando ambos os lados:
Denotando
(constante determinada pela condição inicial), obtemos a solução geral com a constante inicial explícita.
Passo 5
Aplicando a condição inicial: em
a carga é
. Substituindo na solução:
o que confirma a escolha de
. Portanto a solução final é
Comentário didático: essa é uma decaída exponencial com constante de tempo
. Após um tempo
a carga caiu para
. A cada intervalo
a carga é multiplicada por
.
Passo 6
Agora resolvo o item (c): determinar o tempo
tal que
(isto é,
de
). Partimos da solução:
Dividindo por
:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Logo
Usando a identidade
, obtemos a forma mais simples
Passo 7
Faço agora as contas numéricas com os valores dados. Primeiro converto as unidades:
Calculando a constante de tempo:
Agora uso
. Portanto
Arredondando de forma consistente com os dados (duas ou três casas significativas), podemos dar
(ou
), que é cerca de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)