(Circuito RC - descarga) Um capacitor carregado a uma carga inicial Q_{0} é ligado a um resistor R, formando um circuito de descarga RC.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve a descarga do capacitor.
(b) Resolva a equação e obtenha q(t).
(c) Em um circuito com R=5.0 \mathrm{k} \Omega e C=10 \mu \mathrm{~F}, determine o tempo para que a carga caia a 10 \% do valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) escrever a equação diferencial que descreve a descarga de um capacitor inicialmente carregado com carga Q_{0} ligado a um resistor R;
  • (b) resolver essa equação e obter q(t), a carga no capacitor em função do tempo t;
  • (c) com R=5{,}0\\ \mathrm{k}\Omega e C=10\\ \mu\mathrm{F}, determinar o tempo para que a carga caia a 10\% do valor inicial Q_{0}.
Informações dadas:
  • carga inicial: Q_{0} (valor genérico);
  • resistor: R;
  • capacitor: C;
  • valores numéricos para o item (c): R=5{,}0\\ \mathrm{k}\Omega e C=10\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 2

Montando a equação diferencial pelo circuito (Kirchhoff): ao fechar o circuito de descarga não há fonte de tensão, então a soma das quedas de tensão é zero. A queda no resistor é V_{R}=iR e a tensão no capacitor é V_{C}=\dfrac{q}{C}, onde:
  • q(t) é a carga no capacitor no instante t;
  • i(t) é a corrente no circuito no instante t.
Pelo sinal e orientação escolhidos, a equação de malha é
iR+\frac{q}{C}=0.
Agora relacionamos corrente e carga: por definição, a corrente é a taxa de variação da carga no capacitor,
i=\frac{dq}{dt}.
Substituindo na equação de malha obtemos a equação diferencial que descreve a descarga:
R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.

Passo 3

Simplificando a equação diferencial para uma forma padrão, dividimos por R:
\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}\,q=0.
Aqui:
  • q(t) é a incógnita (carga no capacitor);
  • t é o tempo;
  • R e C são constantes do circuito.
    É útil definir a constante de tempo do circuito
\tau \equiv RC,
que tem unidades de tempo e determina a rapidez da descarga.

Passo 4

Vou resolver a equação diferencial por separação de variáveis. A equação
\frac{dq}{dt}=-\frac{1}{RC}\,q
pode ser escrita como
\frac{1}{q}\,dq=-\frac{1}{RC}\,dt.
Integramos ambos os lados. A integral de 1/q é logaritmo natural:
\int \frac{1}{q}\,dq = \int -\frac{1}{RC}\,dt
\Rightarrow \ln|q| = -\frac{t}{RC}+C_1,
onde C_1 é a constante de integração. Como q(t) será positivo durante a descarga (quando consideramos o módulo da carga), podemos eliminar o valor absoluto e escrever:
\ln q = -\frac{t}{RC}+C_1.
Exponenciando ambos os lados:
q(t)=e^{C_1}e^{-t/(RC)}.
Denotando e^{C_1}=Q_{0} (constante determinada pela condição inicial), obtemos a solução geral com a constante inicial explícita.

Passo 5

Aplicando a condição inicial: em t=0 a carga é q(0)=Q_{0}. Substituindo na solução:
q(0)=Q_{0}=Q_{0}e^{0}=Q_{0},
o que confirma a escolha de e^{C_1}=Q_{0}. Portanto a solução final é
q(t)=Q_{0}\,e^{-t/(RC)}.
Comentário didático: essa é uma decaída exponencial com constante de tempo \tau=RC. Após um tempo t=\tau a carga caiu para q(\tau)=Q_{0}e^{-1}\approx0{,}37\,Q_{0}. A cada intervalo \tau a carga é multiplicada por e^{-1}.

Passo 6

Agora resolvo o item (c): determinar o tempo t tal que q(t)=0{,}10\,Q_{0} (isto é, 10\% de Q_{0}). Partimos da solução:
0{,}10\,Q_{0}=Q_{0}\,e^{-t/(RC)}.
Dividindo por Q_{0}:
0{,}10=e^{-t/(RC)}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(0{,}10)=-\frac{t}{RC}.
Logo
t = -RC\ln(0{,}10).
Usando a identidade \ln(0{,}10)=\ln(10^{-1})=-\ln(10), obtemos a forma mais simples
t = RC\ln(10).

Passo 7

Faço agora as contas numéricas com os valores dados. Primeiro converto as unidades:
R=5{,}0\\ \mathrm{k}\Omega = 5{,}0\times10^{3}\\ \Omega, \qquad C=10\\ \mu\mathrm{F} = 10\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Calculando a constante de tempo:
RC = (5{,}0\times10^{3})(10\times10^{-6}) = 5{,}0\times10^{3}\times10\times10^{-6} =5{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{s}=0{,}05\\ \mathrm{s}.
Agora uso \ln(10)\approx2{,}302585. Portanto
t = RC\ln(10) = 0{,}05\times2{,}302585\\ \mathrm{s}\approx0{,}115129\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma consistente com os dados (duas ou três casas significativas), podemos dar t\approx0{,}115\\ \mathrm{s} (ou 1{,}15\times10^{-1}\\ \mathrm{s}), que é cerca de 115\\ \mathrm{ms}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}\,q=0
(b) \displaystyle q(t)=Q_{0}\,e^{-t/(RC)}
(c) \displaystyle t=RC\ln(10)\approx0{,}115\\ \mathrm{s}

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