Uma força \mathbf{F}=(174 \mathrm{~N}) \mathbf{i}+(203 \mathrm{~N}) \mathbf{j}-(166 \mathrm{~N}) \mathbf{k} é exercida sobre um objeto em um ponto definido pelo vetor posição \mathbf{r}=(1,35 \mathrm{~m}) \mathbf{i}-(2,22 \mathrm{~m}) \mathbf{j}, a partir de um ponto de referência O . Calcule o torque exercido pela força em relação ao ponto O .

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o torque (momento) da força \mathbf{F} em relação ao ponto de referência O.
Informações dadas:
\mathbf{F}=(174\\ \mathrm{N})\mathbf{i}+(203\\ \mathrm{N})\mathbf{j}+(-166\\ \mathrm{N})\mathbf{k}
\mathbf{r}=(1{,}35\\ \mathrm{m})\mathbf{i}+(-2{,}22\\ \mathrm{m})\mathbf{j}
Observação importante extraída do enunciado: o vetor posição \mathbf{r} foi fornecido apenas com componentes nas direções \mathbf{i} e \mathbf{j}, portanto a componente em \mathbf{k} é zero:
\mathbf{r}=(1{,}35\\ \mathrm{m})\mathbf{i}+(-2{,}22\\ \mathrm{m})\mathbf{j}+(0\\ \mathrm{m})\mathbf{k}.

Passo 2

Definição e ideia usada (aula rápida): o torque (momento) de uma força em relação a um ponto O é o produto vetorial entre o vetor posição \mathbf{r} (do ponto O até o ponto de aplicação da força) e a força \mathbf{F}. Matematicamente:
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Nessa fórmula:
  • \mathbf{r} tem unidades de metros ( \mathrm{m}),
  • \mathbf{F} tem unidades de newtons ( \mathrm{N}),
  • o torque \boldsymbol{\tau} terá unidades de newton-metro ( \mathrm{N\cdot m}).
    O produto vetorial gera um vetor perpendicular ao plano formado por \mathbf{r} e \mathbf{F}, com magnitude |\boldsymbol{\tau}|=|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\,\sin\theta (onde \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}) e direção dada pela regra da mão direita.

Passo 3

Escrever os vetores em componentes (colocando explicitamente a componente z de \mathbf{r} igual a zero):
\mathbf{r}=(1{,}35,\,-2{,}22,\;0)\\ \mathrm{m}, \qquad \mathbf{F}=(174,\;203,\;-166)\\ \mathrm{N}.
Vou usar a convenção de componentes (x,y,z) correspondendo a \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.

Passo 4

Fórmula prática para calcular o produto vetorial em componentes (determinante):
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] r_x & r_y & r_z\\[4pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
Isto expande para as componentes:
\tau_x = r_y F_z - r_z F_y, \qquad \tau_y = r_z F_x - r_x F_z, \qquad \tau_z = r_x F_y - r_y F_x.
Vou aplicar essas fórmulas com os números dados.]

Passo 5

Calcular \tau_x:
\tau_x = r_y F_z - r_z F_y = (-2{,}22)\cdot(-166) - 0\cdot 203.
Fazendo a conta:
(-2{,}22)\cdot(-166)=2{,}22\times 166 = 2\times166 + 0{,}22\times166 = 332 + 36{,}52 = 368{,}52.
Portanto
\tau_x = 368{,}52\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Calcular \tau_y:
\tau_y = r_z F_x - r_x F_z = 0\cdot 174 - (1{,}35)\cdot(-166).
Fazendo a conta:
-(1{,}35)\cdot(-166) = +1{,}35\times166 = 1\times166 + 0{,}35\times166 = 166 + 58{,}10 = 224{,}10.
Portanto
\tau_y = 224{,}10\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Calcular \tau_z:
\tau_z = r_x F_y - r_y F_x = (1{,}35)\cdot 203 - (-2{,}22)\cdot 174.
Fazendo cada produto:
1{,}35\times203 = 203 + 0{,}35\times203 = 203 + 71{,}05 = 274{,}05,
(-2{,}22)\times174 = -\bigl(2{,}22\times174\bigr) = -\bigl(2\times174 + 0{,}22\times174\bigr) = -(348 + 38{,}28) = -386{,}28.
Então
\tau_z = 274{,}05 - (-386{,}28) = 274{,}05 + 386{,}28 = 660{,}33\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 8

Juntando as componentes, o torque (momento) resultante é:
\boldsymbol{\tau}=(368{,}52\\ \mathrm{N\cdot m})\mathbf{i}+(224{,}10\\ \mathrm{N\cdot m})\mathbf{j}+(660{,}33\\ \mathrm{N\cdot m})\mathbf{k}.
Interpretação curta: o vetor torque aponta na direção positiva de \mathbf{k} (componente \tau_z dominante), significando que a tendência de rotação que a força causa em torno de O tem um grande componente fora do plano xy.

Resposta

\boldsymbol{\tau}=(368{,}52\\ \mathrm{N\cdot m})\mathbf{i}+(224{,}10\\ \mathrm{N\cdot m})\mathbf{j}+(660{,}33\\ \mathrm{N\cdot m})\mathbf{k}

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