Uma mesa possui quatro pernas, sendo que três dela têm 1 m de comprimento. Uma das pernas é um pouco mais longa que as outras, 0,5 \mathrm{~mm}, de modo que a mesa balança ligeiramente. Um cilindro de aço de massa 290 kg é colocado sobre a mesa, de modo que as quatro pernas fiquem comprimidas e a mesa deixe de balançar. As pernas podem ser consideradas cilindros de madeira de seção reta 1 \mathrm{~cm}^{2}. O módulo de Young da madeira vale 1,3 \times 10^{10} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Suponha que o topo da mesa permaneça no nível horizontal e que as pernas não fiquem encurvadas. Calcule a força exercida pelo solo sobre cada uma das quatro pernas.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, com todas as informações importantes bem claras.
  • Há quatro pernas de mesa; três têm comprimento 1{,}00\\ \mathrm{m} e uma é mais longa em \Delta=0{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0005\\ \mathrm{m}.
  • Um cilindro de aço de massa m=290\\ \mathrm{kg} é colocado sobre a mesa, gerando o peso
W=m g
com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Cada perna pode ser considerada um cilindro de madeira com área de seção reta
A=1\\ \mathrm{cm^2}=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
comprimento inicial L=1{,}00\\ \mathrm{m} e módulo de Young
E=1{,}3\times10^{10}\\ \mathrm{N/m^2}.
  • Suposições do enunciado que usaremos: o tampo da mesa permanece horizontal (logo as compressões das pernas se relacionam) e as pernas comprimem axialmente (sem encurvamento).
  • O que se pede: calcular a força que o solo exerce em cada uma das quatro pernas após o cilindro ser colocado — isto é, as forças de reação verticais F em cada perna.

Passo 2

Modelo físico e variáveis: pense nas pernas como molas lineares axiais. Para pequenas compressões axiais de um cilindro homogêneo vale a lei de Hooke linear com constante elástica (rigidez) dada por
k=\frac{E A}{L}.
Aqui k tem unidade \mathrm{N/m} e relaciona a força axial F com a compressão \delta pela
F=k\,\delta.
Explico: E (módulo de Young) mede quanto tensão causa deformação relativa; A é a área que recebe a tensão; L é o comprimento original que define a deformação absoluta para uma mesma tensão.

Passo 3

Relação geométrica entre compressões: chame x_s a compressão (encurtamento) de cada uma das três pernas curtas e x_\ell a compressão da perna mais longa. Inicialmente a perna longa é \Delta mais comprida, então, para o tampo ficar horizontal após compressão, as alturas finais devem coincidir:
L - x_s = L + \Delta - x_\ell.
Isso dá a relação
x_\ell = x_s + \Delta.
Interpretação: a perna longa precisa comprimir \Delta a mais que as outras para compensar o excesso inicial de comprimento.

Passo 4

Equilíbrio de forças verticais: as quatro forças de reação das pernas somam o peso W:
3 F_s + F_\ell = W,
onde F_s = k x_s e F_\ell = k x_\ell = k(x_s+\Delta). Substituindo:
3k x_s + k(x_s+\Delta) = W \quad\Rightarrow\quad 4k x_s + k\Delta = W.
Isolando x_s:
x_s = \frac{W - k\Delta}{4k} = \frac{W}{4k} - \frac{\Delta}{4}.
Depois F_s = k x_s e F_\ell = k(x_s+\Delta)=F_s + k\Delta.

Passo 5

Calculemos os valores numéricos passo a passo.
Primeiro o peso:
W = m g = 290\cdot 9{,}8 = 2842\\ \mathrm{N}.
A rigidez de cada perna:
k=\frac{E A}{L}=\frac{1{,}3\times10^{10}\times 1\times10^{-4}}{1} = 1{,}3\times10^{6}\\ \mathrm{N/m}.
O termo k\Delta:
k\Delta = 1{,}3\times10^{6}\times 0{,}0005 = 650\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Agora x_s:
x_s=\frac{W - k\Delta}{4k}=\frac{2842-650}{4\cdot 1{,}3\times10^{6}}=\frac{2192}{5{,}2\times10^{6}} \approx 4{,}215\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais intuitivas,
x_s\approx 0{,}0004215\\ \mathrm{m}=0{,}4215\\ \mathrm{mm}.
Verificação rápida: \dfrac{W}{4k}=2842/(5{,}2\times10^{6})\approx 5{,}465\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e \Delta/4=0{,}000125\\ \mathrm{m}; a diferença dá o x_s acima.

Passo 7

Forças nas pernas:
Força em cada perna curta:
F_s = k x_s = 1{,}3\times10^{6}\times 4{,}215\times10^{-4}\approx 548\\ \mathrm{N}.
Força na perna longa:
F_\ell = F_s + k\Delta = 548 + 650 = 1198\\ \mathrm{N}.
Checagem: 3\cdot 548 + 1198 = 1644 + 1198 = 2842 = W, confirma o equilíbrio do peso.

Passo 8

Interpretação final (rápida e motivadora): a perna longa acaba suportando muito mais carga porque teve de se comprimir \Delta a mais; as três pernas curtas compartilham o restante do peso quase igualmente. Os valores encontrados são compatíveis com pequenas deformações (menores que o milímetro), então o uso da lei linear de Hooke (via módulo de Young) foi adequado.

Resposta

Força em cada uma das três pernas curtas: 548\\ \mathrm{N}\nForça na perna longa: 1198\\ \mathrm{N}

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