Uma mesa possui quatro pernas, sendo que três dela têm 1 m de comprimento. Uma das pernas é um pouco mais longa que as outras,
, de modo que a mesa balança ligeiramente. Um cilindro de aço de massa 290 kg é colocado sobre a mesa, de modo que as quatro pernas fiquem comprimidas e a mesa deixe de balançar. As pernas podem ser consideradas cilindros de madeira de seção reta
. O módulo de Young da madeira vale
. Suponha que o topo da mesa permaneça no nível horizontal e que as pernas não fiquem encurvadas. Calcule a força exercida pelo solo sobre cada uma das quatro pernas.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, com todas as informações importantes bem claras.
- Há quatro pernas de mesa; três têm comprimento
e uma é mais longa em . - Um cilindro de aço de massa
é colocado sobre a mesa, gerando o peso
com
.
- Cada perna pode ser considerada um cilindro de madeira com área de seção reta
comprimento inicial
e módulo de Young
- Suposições do enunciado que usaremos: o tampo da mesa permanece horizontal (logo as compressões das pernas se relacionam) e as pernas comprimem axialmente (sem encurvamento).
- O que se pede: calcular a força que o solo exerce em cada uma das quatro pernas após o cilindro ser colocado — isto é, as forças de reação verticais
em cada perna.
Passo 2
Modelo físico e variáveis: pense nas pernas como molas lineares axiais. Para pequenas compressões axiais de um cilindro homogêneo vale a lei de Hooke linear com constante elástica (rigidez) dada por
Aqui
tem unidade
e relaciona a força axial
com a compressão
pela
Explico:
(módulo de Young) mede quanto tensão causa deformação relativa;
é a área que recebe a tensão;
é o comprimento original que define a deformação absoluta para uma mesma tensão.
Passo 3
Relação geométrica entre compressões: chame
a compressão (encurtamento) de cada uma das três pernas curtas e
a compressão da perna mais longa. Inicialmente a perna longa é
mais comprida, então, para o tampo ficar horizontal após compressão, as alturas finais devem coincidir:
Isso dá a relação
Interpretação: a perna longa precisa comprimir
a mais que as outras para compensar o excesso inicial de comprimento.
Passo 4
Equilíbrio de forças verticais: as quatro forças de reação das pernas somam o peso
:
onde
e
. Substituindo:
Isolando
:
Depois
e
.
Passo 5
Calculemos os valores numéricos passo a passo.
Primeiro o peso:
A rigidez de cada perna:
O termo
:
Passo 6
Agora
:
Em unidades mais intuitivas,
Verificação rápida:
e
; a diferença dá o
acima.
Passo 7
Forças nas pernas:
Força em cada perna curta:
Força na perna longa:
Checagem:
, confirma o equilíbrio do peso.
Passo 8
Interpretação final (rápida e motivadora): a perna longa acaba suportando muito mais carga porque teve de se comprimir
a mais; as três pernas curtas compartilham o restante do peso quase igualmente. Os valores encontrados são compatíveis com pequenas deformações (menores que o milímetro), então o uso da lei linear de Hooke (via módulo de Young) foi adequado.
Resposta
Força em cada uma das três pernas curtas:
\nForça na perna longa: