Uma viga uniforme de 350 N está fixada em uma parede vertical por um pino e é mantida em posição horizontal com auxílio de um cabo. (a) determine a tensão no cabo. Com
dirigido horizontalmente para a direita e
dirigido verticalmente para cima, determine as componentes (b)
e (c)
da força exercida pelo pino.
Passo 1
O enunciado dá uma viga uniforme de peso
presa por um pino na parede e mantida na horizontal por um cabo. As perguntas são:
(a) determinar a tensão no cabo;
(b) determinar a componente da força no pino;
(c) determinar a componente da força no pino.
(a) determinar a tensão no cabo;
(b) determinar a componente
(c) determinar a componente
Informações fornecidas (resumidas):
(peso da viga), viga em posição horizontal, pino na extremidade junto à parede, cabo prende a extremidade livre.
Informação que falta no enunciado: a geometria do cabo (por exemplo, o ângulo que o cabo faz com a horizontal ou a vertical, ou onde exatamente o cabo está fixado na parede). Sem essa informação não é possível obter valores numéricos únicos para a tensão e para a componente
da reação do pino. Portanto vou: (i) apresentar a solução simbólica em função do ângulo
(definido abaixo) — essa é a forma correta e completa da resposta — e (ii) mostrar rapidamente um exemplo numérico para um ângulo típico para você ver como obter números.
Informação que falta no enunciado: a geometria do cabo (por exemplo, o ângulo
Obs.: não inventei dados geométricos; dei a resposta simbólica correta que depende apenas da informação essencial que falta (
).
Passo 2
Definimos as variáveis e o diagrama de corpo livre (FBD) mentalmente:
- Seja
o ângulo entre o cabo e a horizontal (ou seja, o cabo sobe em direção à parede fazendo ângulo com a viga horizontal). Sempre escreva qual ângulo você está usando na prova. - Denotamos a tensão do cabo por
. - Denotamos as componentes da força do pino (na parede) por
(horizontal, positivo para a direita) e (vertical, positivo para cima), conforme o enunciado. - O peso da viga é
, aplicado no centro da viga (pois a viga é uniforme). - Seja
o comprimento da viga (valor numérico não fornecido). O ponto de aplicação do cabo é a extremidade livre a uma distância do pino; o peso age a do pino.
Agora decompondo a tensão do cabo nas componentes: a força que o cabo exerce sobre a viga aponta em direção à parede (isto é, para a esquerda e para cima). Assim a decomposição é
Vou usar as equações de equilíbrio estático: soma das forças = zero e soma dos momentos (torques) = zero.
Passo 3
Equilíbrio de momentos em relação ao pino (isso elimina
e
, facilitando achar
). Explicando o conceito: o momento (torque) de uma força em relação a um ponto é o produto da força pela distância perpendicular ao ponto. Tomando momentos positivos no sentido anti-horário, temos duas contribuições principais: o peso que tende a girar a viga no sentido horário e a componente vertical para cima da tensão que tende a girá-la no sentido anti-horário.
- Momento do peso
em torno do pino: (sentido horário). - Momento da componente vertical do cabo em torno do pino:
(sentido anti-horário).
Equilíbrio de momentos (
) dá
Dividindo por
(observe que
), obtemos
Logo a tensão é
Substituindo
,
Comentário didático: o comprimento
cancela — por isso o valor numérico do comprimento não era necessário para obter
em função de
.
Passo 4
Agora usamos equilíbrio de forças para achar as componentes do pino. As equações de equilíbrio linear são
e
.
Somando forças na direção
(direita positiva):
a força do cabo tem componente horizontal para a esquerda igual a . Assim
a força do cabo tem componente horizontal para a esquerda igual a
Somando forças na direção
(para cima positiva):
a força do cabo contribui com para cima e o peso contribui com
. Assim
a força do cabo contribui com
Agora substituímos
achado no Passo 3. Como vimos,
. Portanto
Com
temos
Para
,
Substituindo
,
Interpretação física: a componente vertical do pino sempre suporta metade do peso (
); a componente horizontal depende do ângulo do cabo: quanto mais vertical for o cabo (maior
), menor será a componente horizontal no pino.
Passo 5
Se você tiver um ângulo específico, plugue
nas fórmulas acima. Exemplo rápido: se
, então
e
, então
Use esse procedimento para qualquer outro
.