Uma viga uniforme de 350 N está fixada em uma parede vertical por um pino e é mantida em posição horizontal com auxílio de um cabo. (a) determine a tensão no cabo. Com +\mathbf{i} dirigido horizontalmente para a direita e +\mathbf{j} dirigido verticalmente para cima, determine as componentes (b) x e (c) y da força exercida pelo pino.

Passo 1

O enunciado dá uma viga uniforme de peso \,350\\ \text{N}\, presa por um pino na parede e mantida na horizontal por um cabo. As perguntas são:
(a) determinar a tensão no cabo;
(b) determinar a componente x da força no pino;
(c) determinar a componente y da força no pino.
Informações fornecidas (resumidas): \,W=350\\ \text{N}\,) (peso da viga), viga em posição horizontal, pino na extremidade junto à parede, cabo prende a extremidade livre.
Informação que falta no enunciado: a geometria do cabo (por exemplo, o ângulo \theta que o cabo faz com a horizontal ou a vertical, ou onde exatamente o cabo está fixado na parede). Sem essa informação não é possível obter valores numéricos únicos para a tensão e para a componente x da reação do pino. Portanto vou: (i) apresentar a solução simbólica em função do ângulo \theta (definido abaixo) — essa é a forma correta e completa da resposta — e (ii) mostrar rapidamente um exemplo numérico para um ângulo típico para você ver como obter números.
Obs.: não inventei dados geométricos; dei a resposta simbólica correta que depende apenas da informação essencial que falta ( \theta).

Passo 2

Definimos as variáveis e o diagrama de corpo livre (FBD) mentalmente:
  • Seja \theta o ângulo entre o cabo e a horizontal (ou seja, o cabo sobe em direção à parede fazendo ângulo \theta com a viga horizontal). Sempre escreva qual ângulo você está usando na prova.
  • Denotamos a tensão do cabo por \,T\,.
  • Denotamos as componentes da força do pino (na parede) por \,R_x (horizontal, positivo para a direita) e \,R_y (vertical, positivo para cima), conforme o enunciado.
  • O peso da viga é \,W=350\\ \text{N}, aplicado no centro da viga (pois a viga é uniforme).
  • Seja L o comprimento da viga (valor numérico não fornecido). O ponto de aplicação do cabo é a extremidade livre a uma distância L do pino; o peso age a L/2 do pino.
Agora decompondo a tensão do cabo nas componentes: a força que o cabo exerce sobre a viga aponta em direção à parede (isto é, para a esquerda e para cima). Assim a decomposição é
\text{força do cabo} = -T\cos\theta\,\mathbf{i} + T\sin\theta\,\mathbf{j}.ç
Vou usar as equações de equilíbrio estático: soma das forças = zero e soma dos momentos (torques) = zero.

Passo 3

Equilíbrio de momentos em relação ao pino (isso elimina R_x e R_y, facilitando achar T). Explicando o conceito: o momento (torque) de uma força em relação a um ponto é o produto da força pela distância perpendicular ao ponto. Tomando momentos positivos no sentido anti-horário, temos duas contribuições principais: o peso que tende a girar a viga no sentido horário e a componente vertical para cima da tensão que tende a girá-la no sentido anti-horário.
  • Momento do peso W em torno do pino: \,W \times (L/2)\, (sentido horário).
  • Momento da componente vertical do cabo em torno do pino: \,T\sin\theta \times L\, (sentido anti-horário).
Equilíbrio de momentos ( \sum M_{pino}=0) dá
T\sin\theta\cdot L - W\cdot\frac{L}{2} = 0.
Dividindo por L (observe que L\neq0), obtemos
T\sin\theta = \frac{W}{2}.
Logo a tensão é
T = \frac{W}{2\sin\theta}.
Substituindo W=350\\ \text{N},
T = \frac{350}{2\sin\theta} = \frac{175}{\sin\theta}\\ \text{N}.
Comentário didático: o comprimento L cancela — por isso o valor numérico do comprimento não era necessário para obter T em função de \theta.

Passo 4

Agora usamos equilíbrio de forças para achar as componentes do pino. As equações de equilíbrio linear são \sum F_x=0 e \sum F_y=0.
Somando forças na direção x (direita positiva):
a força do cabo tem componente horizontal para a esquerda igual a -T\cos\theta. Assim
R_x + (-T\cos\theta) = 0 \quad\Longrightarrow\quad R_x = T\cos\theta.
Somando forças na direção y (para cima positiva):
a força do cabo contribui com +T\sin\theta para cima e o peso contribui com -W. Assim
R_y + T\sin\theta - W = 0 \quad\Longrightarrow\quad R_y = W - T\sin\theta.
Agora substituímos T achado no Passo 3. Como vimos, T\sin\theta = W/2. Portanto
R_y = W - \frac{W}{2} = \frac{W}{2}.
Com W=350\\ \text{N} temos
R_y = \frac{350}{2} = 175\\ \text{N}.
Para R_x,
R_x = T\cos\theta = \left(\frac{W}{2\sin\theta}\right)\cos\theta = \frac{W}{2}\cot\theta.
Substituindo W=350\\ \text{N},
R_x = 175\cot\theta\\ \text{N}.
Interpretação física: a componente vertical do pino sempre suporta metade do peso ( 175\\ \text{N}); a componente horizontal depende do ângulo do cabo: quanto mais vertical for o cabo (maior \theta), menor será a componente horizontal no pino.

Passo 5

Se você tiver um ângulo específico, plugue \theta nas fórmulas acima. Exemplo rápido: se \theta=30^\circ, então \sin30^\circ=\tfrac{1}{2} e \cot30^\circ=\sqrt{3}, então
T=\frac{175}{\sin30^\circ}= \frac{175}{1/2}=350\\ \text{N},
R_x=175\cot30^\circ=175\sqrt{3}\approx 303{,}1\\ \text{N},
R_y=175\\ \text{N}.
Use esse procedimento para qualquer outro \theta.

Resposta

T=\dfrac{175}{\sin\theta}\\ \text{N}
R_x=175\cot\theta\\ \text{N}
R_y=175\\ \text{N}

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