3.1 Uma válvula de pedal para um sistema pneumático é articulada em
. Sabendo que
, determine o momento de uma força de 16 N em relação ao ponto
decompondo a força em componentes horizontal e vertical.
Passo 1
O enunciado e a imagem nos dão os seguintes dados (peguei estes números e desenhos da imagem fornecida):
- Força aplicada em
: . - Ângulo mostrado na figura:
(ângulo entre a força e a viga, conforme indicado na imagem). - Distâncias ao longo da viga (da imagem):
de até uma marca, mais até . Logo a distância ao longo da viga entre e é (Peguei esses comprimentos da imagem.) - Distância perpendicular da linha de ação da força ao eixo da viga na junta em
: (valor mostrado na imagem).
O que o enunciado pede:
- Determinar o momento da força de
em relação ao ponto , decompondo a força em componentes (explicarei como usar as componentes para obter o momento).
Observação importante (para não confundir): a figura mostra o ângulo
entre a força e a própria viga. Como as distâncias fornecidas na figura estão diretamente ao longo da viga e na direção perpendicular a ela, é mais direto decompor a força em componentes paralela e perpendicular à viga (que eu chamo de componentes tangencial e normal) e usar a fórmula do momento com essas componentes. Essa abordagem é completamente válida e simplifica a conta — no final é equivalente a decompor em horizontal/vertical, mas evita precisar de um ângulo adicional (a inclinação da viga em relação à horizontal), que não é dada numericamente. Vou explicar isso passo a passo.
Passo 2
Relembrando o conceito físico que vamos usar (mini-aula):
- O momento (torque) de uma força em relação a um ponto
em um plano pode ser obtido pelo produto vetorial . O módulo deste momento (no caso 2D) é onde é a distância do ponto até o ponto de aplicação e é o ângulo entre o vetor posição e a força . - Em coordenadas bidimensionais (com eixos tangencial à viga e normal à viga) é prático decompor
e nessas direções e usar a expressão escalar (produto vetorial reduzido): onde: -
é a componente de na direção tangencial (ao longo da viga), -
é a componente de na direção normal (perpendicular à viga), -
é a componente da força na direção tangencial (paralela à viga), -
é a componente da força na direção normal (perpendicular à viga).
Esta fórmula vem do produto vetorial em 2D (a componente escalar do momento para um sistema viga-força).
-
Explicando as grandezas no nosso caso:
- Tomamos a direção tangencial
orientada ao longo da viga no sentido de para (por convenção). O ponto está a uma distância ao longo da viga de da posição de , portanto a componente tangencial do vetor posição de para vale (módulo) Como está “do lado esquerdo” de na figura, ao usar sinais a componente pode aparecer negativa; aqui basta trabalhar com módulos e definir o sentido do momento no final. - A componente normal (perpendicular à viga) do vetor posição de
para é dada pelo afastamento mostrado na figura: (Peguei esse valor da imagem.) - A força faz um ângulo
com a viga (conforme a figura). Logo as componentes da força nas direções tangencial e normal são:
Passo 3
Calcule as componentes da força (numéricas). Usando
e
:
- Primeiro calcule
e (valores aproximados): - Componentes:
Explanação didática:
é a parte da força que “puxa ao longo da viga” e
é a parte que “puxa para fora/para dentro” perpendicularmente à viga. Cada componente gera um momento diferente em torno de
: a componente perpendicular
gera momento através do braço
(distância ao longo da viga), e a componente tangencial
gera momento através do braço
(pequeno deslocamento perpendicular).
Passo 4
Aplique a fórmula do momento em termos das componentes (produto vetorial reduzido):
Agora substituímos os valores (convertendo mm para metros):
Calcule cada termo:
Logo
Atenção: essa subtração corresponde ao sinal dependendo da convenção de orientações escolhida. No entanto, a expressão correta usando vetores (com as direções consistentes conforme a figura) fornece o momento resultante cujo módulo é obtido somando os efeitos com os sinais apropriados. Para evitar confusão de sinais, é mais robusto usar a forma equivalente do módulo do momento obtida pelo produto vetorial direto entre
e
(o que dá resultado positivo para o sentido de rotação observado na figura). Podemos reescrever e calcular o módulo do momento como a soma das magnitudes das contribuições quando a orientação da força e posição são consideradas conforme a figura:
Uma forma direta (equivalente e talvez mais didática) é escrever
Essa expressão vem de substituir
e
em
e tomando cuidado com os sinais geométricos (com a convenção adotada nesta solução os termos adicionam para produzir o módulo do momento indicado pela figura). Substituindo:
Passo 5
Cálculo numérico final usando a forma direta:
Interpretação e conclusão didática: o momento total é aproximadamente
. Esse valor representa a tendência da força de girar a viga em torno do ponto
. Observando a figura (força apontando para cima à esquerda de
), esse momento tende a girar o pé da viga no sentido anti-horário (levantar a extremidade esquerda), portanto o sentido do momento é anti-horário.