Uma força
, com
medido em metros, age sobre uma partícula, deslocando-a das coordenadas
para
. Determine o trabalho W realizado pela força
sobre a partícula. A velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece a mesma?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o trabalho realizado pela força
quando a partícula vai de
a
; (2) dizer se a velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece a mesma.
As informações dadas são: a força é e os pontos inicial e final são
e
. O enunciado não especifica a trajetória, apenas os pontos inicial e final.
As informações dadas são: a força é
Passo 2
Verificamos se o trabalho depende do caminho ou não (isto é, se o campo é conservativo). Em 2D, para
uma condição simples é verificar se
Aqui
e
. Calculando as derivadas:
Como
, a condição é satisfeita. Como o domínio é todo o plano (simplesmente conexo), o campo é conservativo e o trabalho é independente do caminho. Portanto podemos usar uma função potencial para calcular o trabalho apenas pela diferença entre valores em extremos.
Passo 3
Explicação sobre potencial e trabalho: se existe uma função escalar
tal que
, então
e
. O trabalho entre dois pontos é
Vamos encontrar
. Das componentes,
onde
é função a determinar. Diferenciando em
,
Integramos em
:
onde
é constante arbitrária. Logo uma função potencial é
Passo 4
Calculemos
nos pontos inicial
e final
. Usando a expressão encontrada:
A constante
cancela ao fazer a diferença. O trabalho é
Obs.: a unidade Joule (
) equivale a
.
Passo 5
Breve verificação alternativa (opcional, para fixar): podemos parametrizar uma reta qualquer de
a
, por exemplo a reta
com
. Então
,
,
. O integrando
e como
temos
, logo
confirmando o resultado e mostrando a independência do caminho.
Passo 6
Agora a segunda pergunta: relação trabalho-energia. O teorema trabalho-energia diz que o trabalho total realizado por forças sobre uma partícula iguala a variação da energia cinética:
Aqui obtivemos
. Isso significa que a energia cinética da partícula aumentou, portanto a velocidade escalar (a rapidez) da partícula aumentou. Não precisamos do valor da massa para concluir isso: trabalho positivo implica aumento da energia cinética e, portanto, aumento da velocidade.
Resposta
A velocidade aumenta.