Uma força \mathbf{F}=(4 \mathrm{~N}) \hat{\mathbf{i}}+\left(2 y^{2} \mathrm{~N}\right) \hat{\mathbf{j}}, com y medido em metros, age sobre uma partícula, deslocando-a das coordenadas (4,0) \mathrm{m} para (6,3) \mathrm{m}. Determine o trabalho W realizado pela força \mathbf{F} sobre a partícula. A velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece a mesma?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o trabalho realizado pela força \mathbf{F} quando a partícula vai de (4,0)\\ \mathrm{m} a (6,3)\\ \mathrm{m}; (2) dizer se a velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece a mesma.
As informações dadas são: a força é \mathbf{F}=(4\\ \mathrm{N})\hat{\mathbf{i}}+\bigl(2y^{2}\\ \mathrm{N}\bigr)\hat{\mathbf{j}} e os pontos inicial e final são (4,0)\\ \mathrm{m} e (6,3)\\ \mathrm{m}. O enunciado não especifica a trajetória, apenas os pontos inicial e final.

Passo 2

Verificamos se o trabalho depende do caminho ou não (isto é, se o campo é conservativo). Em 2D, para \mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y)) uma condição simples é verificar se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui P(x,y)=4 e Q(x,y)=2y^{2}. Calculando as derivadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(4)=0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y^{2})=0.
Como 0=0, a condição é satisfeita. Como o domínio é todo o plano (simplesmente conexo), o campo é conservativo e o trabalho é independente do caminho. Portanto podemos usar uma função potencial para calcular o trabalho apenas pela diferença entre valores em extremos.

Passo 3

Explicação sobre potencial e trabalho: se existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, então \phi_x=P e \phi_y=Q. O trabalho entre dois pontos é
W=\int_{A}^{B}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Vamos encontrar \varphi. Das componentes,
\phi_x=4 \quad\Rightarrow\quad \varphi(x,y)=4x+g(y),
onde g(y) é função a determinar. Diferenciando em y,
\phi_y=g'(y)=2y^{2}.
Integramos em y:
g(y)=\int 2y^{2}\,dy=\frac{2}{3}y^{3}+C,
onde C é constante arbitrária. Logo uma função potencial é
\varphi(x,y)=4x+\frac{2}{3}y^{3}+C.

Passo 4

Calculemos \varphi nos pontos inicial A=(4,0) e final B=(6,3). Usando a expressão encontrada:
\varphi(B)=\varphi(6,3)=4\cdot 6+\frac{2}{3}\cdot 3^{3}+C=24+\frac{2}{3}\cdot 27+C=24+18+C=42+C,
\varphi(A)=\varphi(4,0)=4\cdot 4+\frac{2}{3}\cdot 0^{3}+C=16+C.
A constante C cancela ao fazer a diferença. O trabalho é
W=\varphi(B)-\varphi(A)=(42+C)-(16+C)=26\\ \mathrm{J}.
Obs.: a unidade Joule ( \mathrm{J}) equivale a \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Breve verificação alternativa (opcional, para fixar): podemos parametrizar uma reta qualquer de A a B, por exemplo a reta \mathbf{r}(t)=(4,0)+t(2,3) com t\in[0,1]. Então x(t)=4+2t, y(t)=0+3t, d\mathbf{r}=(2\,dt)\hat{\mathbf{i}}+(3\,dt)\hat{\mathbf{j}}. O integrando \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(4)(2\,dt)+(2y^{2})(3\,dt)=8\,dt+6y^{2}\,dt e como y=3t temos y^{2}=9t^{2}, logo
W=\int_{0}^{1}\bigl(8+6\cdot 9t^{2}\bigr)dt=\int_{0}^{1}\bigl(8+54t^{2}\bigr)dt = \bigl[8t+18t^{3}\bigr]_{0}^{1}=8+18=26\\ \mathrm{J},
confirmando o resultado e mostrando a independência do caminho.

Passo 6

Agora a segunda pergunta: relação trabalho-energia. O teorema trabalho-energia diz que o trabalho total realizado por forças sobre uma partícula iguala a variação da energia cinética:
W=\Delta K=\frac{1}{2}m v_{f}^{2}-\frac{1}{2}m v_{i}^{2}.
Aqui obtivemos W=26\\ \mathrm{J}>0. Isso significa que a energia cinética da partícula aumentou, portanto a velocidade escalar (a rapidez) da partícula aumentou. Não precisamos do valor da massa para concluir isso: trabalho positivo implica aumento da energia cinética e, portanto, aumento da velocidade.

Resposta

W=26\\ \mathrm{J}
A velocidade aumenta.

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