Qual é o trabalho realizado por uma mola que obedece à lei de Hooke?

Passo 1

O que o enunciado pede: descobrir qual é o trabalho realizado por uma mola que obedece à lei de Hooke.
Informações dadas (ou naturalmente envolvidas no problema):
  • A mola obedece à lei de Hooke, ou seja, a força elástica é proporcional ao deslocamento e aponta para a posição de equilíbrio. Vou denotar a constante elástica por k>0 e o deslocamento em relação à posição de equilíbrio por x.
  • Consideraremos um deslocamento inicial x_1 e um deslocamento final x_2 (essas são as posições da massa presa na mola medidas a partir do equilíbrio).
  • Não há outras forças especificadas; o objetivo é obter a expressão geral do trabalho realizado pela força da mola ao mover-se de x_1 para x_2.

Passo 2

Definição de trabalho para uma força variável (a ideia essencial):
Quando uma força depende da posição, o trabalho realizado por essa força ao deslocar-se de x_1 até x_2 é dado pela integral da força em função de x em relação a dx. Em fórmula:
W=\int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx.
Aqui W é o trabalho (energia transferida pela força) e F(x) é a componente da força na direção do deslocamento, escrita como função de x. Essa é a fórmula que vamos usar — é só somar (integrar) as pequenas contribuições de trabalho F(x)\,dx ao longo do caminho.

Passo 3

Escrever a força da mola (lei de Hooke) e explicar o sinal:
A lei de Hooke diz que a força elástica é proporcional ao deslocamento e apontando para o equilíbrio. Em fórmula:
F(x) = -k\,x,
onde k é a constante da mola (unidade N/m) e x é o deslocamento (m). O sinal negativo indica que a força é restauradora: se x>0 (mola esticada), a força aponta para a esquerda (negativa); se x<0 (mola comprimida), a força aponta para a direita (positiva).

Passo 4

Substituir F(x) na integral do trabalho e calcular passo a passo:
Começamos com a definição do passo anterior e substituímos F(x)=-k x:
W=\int_{x_1}^{x_2} (-k x)\,dx.
Como k é constante, fatoramos:
W=-k\int_{x_1}^{x_2} x\,dx.
Agora calculamos a integral \int x\,dx. A primitiva de x é x^2/2, então:
\int_{x_1}^{x_2} x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{x_1}^{x_2} = \frac{x_2^2}{2}-\frac{x_1^2}{2}.
Substituindo de volta:
W = -k\left(\frac{x_2^2}{2}-\frac{x_1^2}{2}\right).
Simplificando:
W = \frac{1}{2}k\left(x_1^2 - x_2^2\right).
Essa é a expressão geral do trabalho realizado pela força elástica da mola quando a massa se desloca de x_1 para x_2.

Passo 5

Interpretação física e casos especiais (para você entender na prova):
  • Se a mola parte da posição de equilíbrio x_1=0 e vai até x_2=x, então
W=\frac{1}{2}k\left(0^2 - x^2\right) = -\frac{1}{2}k x^2.
Ou seja, a força da mola realiza trabalho negativo ao ser esticada (ela resiste ao alongamento). O valor absoluto \frac{1}{2}k x^2 é a energia armazenada na mola — a energia potencial elástica. Convenção útil:
\text{Energia potencial elástica armazenada: }\; U=\frac{1}{2}k x^2.á
  • A relação entre trabalho da mola e variação da energia potencial é
W_{\text{mola}} = -\Delta U,
pois quando a mola ganha energia potencial ( \Delta U>0) ela realiza trabalho negativo sobre o corpo.
  • Se você estiver perguntando pelo trabalho realizado pelo agente externo que estica a mola lentamente de x_1 para x_2, esse trabalho é o oposto do trabalho da mola:
W_{\text{externo}} = -W_{\text{mola}} = \frac{1}{2}k\left(x_2^2-x_1^2\right).
Na prova, preste atenção ao enunciado: se pedirem “trabalho da mola” use W=\tfrac{1}{2}k(x_1^2-x_2^2); se pedirem “trabalho realizado para esticar a mola” provavelmente querem W_{\text{externo}}=\tfrac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2).

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar, sem calculadora complicada):
Suponha k=100\\ \mathrm{N/m}, esticamos a mola de x_1=0 até x_2=0,10\\ \mathrm{m}. Então:
W_{\text{mola}}=\frac{1}{2}\cdot100\cdot(0^2-0,10^2)=\frac{1}{2}\cdot100\cdot(-0{,}01)=-0{,}5\\ \mathrm{J}.
Ou seja, a mola fez -0{,}5\\ \mathrm{J} de trabalho (ela recebeu +0{,}5\\ \mathrm{J} de energia do agente que a esticou).

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (prático e amigável):
  • Sempre defina a referência x=0 como o equilíbrio.
  • Identifique se o enunciado quer o trabalho da força elástica ou o trabalho do agente externo — eles têm sinais opostos.
  • Use a fórmula geral \displaystyle W=\frac{1}{2}k\left(x_1^2-x_2^2\right) para qualquer trecho x_1\to x_2; é a forma mais segura e generalizável.
    Você está indo bem — com essa fórmula e sabendo interpretar sinais, resolve a maioria das questões sobre molas!

Resposta

W=\dfrac{1}{2}k\bigl(x_1^{2}-x_2^{2}\bigr)
W_{\text{externo}}=\dfrac{1}{2}k\bigl(x_2^{2}-x_1^{2}\bigr)

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