Depois de deslizar sobre uma superfície horizontal sem atrito com velocidade \mathrm{V}=0,45 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, um bloco de massa \mathrm{m}=0,78 \mathrm{~kg} colide com uma mola de constante elástica \mathrm{k}=680 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e começa a comprimi-la. No instante em que o bloco pára momentaneamente por causa da força exercida pela mola, de que distância d a mola foi comprimida?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dados fornecidos:
    \;m=0,78\\ \text{kg} (massa do bloco),
    \;V=0,45\\ \text{m/s} (velocidade inicial do bloco),
    \;k=680\\ \text{N/m} (constante elástica da mola).
  • Pergunta: quando o bloco pára momentaneamente devido à mola, qual é a distância \;d de compressão da mola?

Passo 2

Vamos entender a ideia física que usamos (explicação passo a passo, sem pular etapas).
Quando não há atrito e nenhuma outra força dissipativa, a energia mecânica se conserva. Isso significa que a energia cinética inicial do bloco vira energia armazenada na mola no ponto de máxima compressão, onde a velocidade é zero.
Definições e fórmulas importantes (vou explicar cada termo):
  • Energia cinética de um corpo de massa \;m e velocidade \;V: E_{\text{cin}}=\frac{1}{2}mV^{2}.Aqui \;m é a massa em quilogramas e \;V a velocidade em metros por segundo. Esta fórmula dá a energia associada ao movimento.
  • Energia potencial elástica armazenada em uma mola comprimida (ou esticada) de constante \;k por uma distância \;d: E_{\text{mola}}=\frac{1}{2}kd^{2}.Aqui \;k é a constante da mola em N/m e \;d é a compressão em metros. Esta fórmula vem da integração da força elástica linear \;F=-kx.
Como não há perda de energia:
E_{\text{cin, inicial}}=E_{\text{mola, máxima}}.á

Passo 3

Escrevendo a conservação de energia com as fórmulas:
\frac{1}{2}mV^{2}=\frac{1}{2}kd^{2}.
Posso simplificar os fatores \tfrac{1}{2} dos dois lados, ficando:
mV^{2}=kd^{2}.
Isolando d^{2}:
d^{2}=\frac{mV^{2}}{k}.
Tomando raiz quadrada (consideramos a raiz positiva porque d é uma distância):
d=\sqrt{\frac{mV^{2}}{k}}.
Também é útil reescrever como
d=V\sqrt{\frac{m}{k}},
que é a mesma coisa, só factorizando V.

Passo 4

Agora faço a conta numérica passo a passo (sem pular etapas), usando os valores dados.
  1. Calculo V^{2}:
V^{2}=(0,45)^{2}=0,2025.
  1. Calculo mV^{2}:
mV^{2}=0,78\cdot 0,2025=0,15795.
  1. Divido por k:
\frac{mV^{2}}{k}=\frac{0,15795}{680}=0,0002322794117647059\\ (\text{aprox.}).
  1. Raiz quadrada para obter d:
d=\sqrt{0,0002322794117647059}\approx 0,01524\\ \text{m}.
Converto para centímetros (mais intuitivo):
0,01524\\ \text{m}=1,524\\ \text{cm}\approx 1,52\\ \text{cm}.
Pequena checagem dimensional: \frac{mV^{2}}{k} tem unidade \frac{\text{kg}\cdot(\text{m}^2/\text{s}^2)}{\text{N}/\text{m}}=\text{m}^2, logo a raiz dá metros — coerente.

Passo 5

Interpretação e incentivo rápido: a mola comprimiu pouco porque a velocidade inicial era baixa e a mola é bem rígida ( k grande). Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — essa é a receita na prova: escrever conservação de energia, substituir e calcular com cuidado.

Resposta

d\approx 0,01524\\ \text{m} (aproximadamente 1,52\\ \text{cm}).

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