Q7 - Considere um pêndulo simples formado por um fio ideal de comprimento
e uma pequena esfera de massa
. Para pequenos deslocamentos angulares, o pêndulo realiza um movimento harmônico simples (MHS). O período de oscilação é dado por
onde
é a aceleração da gravidade.
Suponha que o pêndulo é afastado de sua posição de equilíbrio até formar um ângulo máximo de
com a vertical e, em seguida, é abandonado a partir do repouso. (a) Calcule o período de oscilação do pêndulo. (b) Determine a frequência angular
e escreva a função da posição angular
, assumindo
. (c) Calcule o menor tempo necessário para que o pêndulo vá da posição de máxima elongação até a posição de equilíbrio.
Suponha que o pêndulo é afastado de sua posição de equilíbrio até formar um ângulo máximo de
Passo 1
O enunciado diz o seguinte (resumo claro do que é pedido e dos dados fornecidos):
- Temos um pêndulo simples com comprimento
e massa pequena (a massa não entra nos resultados para pequeno deslocamento). - Para pequenos deslocamentos angulares, o movimento é harmônico simples (MHS) e o período é dado pela fórmula
- O pêndulo é afastado até um ângulo máximo de
e abandonado a partir do repouso (isto é, velocidade angular inicial nula). - Pedidos:
(a) calcular o período de oscilação;
(b) determinar a frequência angulare escrever a função apropriada ao movimento descrito;
(c) calcular o menor tempo necessário para o pêndulo ir da posição de máxima elongação até a posição de equilíbrio.
Dados numéricos que usarei (valores padrão):
Passo 2
Entendendo a fórmula do período e calculando
.
Breve explicação didática da origem da fórmula: para pequenas oscilações a equação do movimento angular do pêndulo se aproxima de
que é a equação do MHS padrão. A solução tem forma harmônica com frequência angular
e o período é a inversa da frequência circular por
, o que dá
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculo
:
Agora a raiz quadrada:
Finalmente o período:
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar
.
Passo 3
Determinar a frequência angular
.
Explicação: a frequência angular
do MHS é a taxa com que a fase
avança no tempo. Pela equação linearizada do pêndulo temos
Substituindo numericamente:
Também é consistente ver que
. Se usarmos
,
o que confirma o valor acima.
Passo 4
Escolher a fase inicial
e escrever
.
Entendendo as condições iniciais: o enunciado diz “afastado até
e abandonado a partir do repouso”. Isso significa, no instante
,
Na forma proposta
a velocidade inicial é
então em
temos
. Como
e
e
, fica
, o que dá
ou
. Para
temos
, que coincide com a condição
. Para
teríamos
, o que não bate com o enunciado. Portanto escolhemos
.
Observação sobre unidades: a expressão usa radianos internamente. Convertendo
para radianos porque, em funções trigonométricas, é usual calcular em rad:
Assim a função angular do movimento, com a fase determinada, é
Se preferir manter o ângulo inicial em graus na escrita informal, pode-se anotar
, lembrando que a avaliação numérica interna usa radianos.
Passo 5
Calcular o menor tempo para ir da máxima elongação até o equilíbrio.
Entendimento do que é pedido: “menor tempo para ir da posição de máxima elongação até a posição de equilíbrio” significa o primeiro instante positivo
em que
, partindo de
.
Usando nossa função
, queremos o menor
tal que
. A primeira solução positiva é quando
Logo
Também é conhecido que esse tempo é um quarto do período:
. Vamos calcular numericamente usando
:
Usando
temos
, mesma coisa. Arredondando para prova:
ou
.
Resposta
(a)
(b) ,
(c) (ou
).
(b)
(c)