Uma força \mathbf{F} de intensidade 210 N atua na origem de um sistema de coordenadas. Sabendo que F_{x}=80 \mathrm{~N}, \theta_{z}=151,2^{\circ} e F_{y}<0, determine, ( a ) os componentes F_{y} e F_{z}, (b) os ângulos \theta_{x} e \theta_{y}.

Passo 1

O enunciado dá uma força \mathbf{F} de módulo \lvert \mathbf{F}\rvert =210 N com componente F_x =80 N, ângulo com o eixo z igual a \theta_{z}=151,2^\circ e informa que F_y<0. O conteúdo aqui é decompor a força em componentes cartesianas usando as direções dadas pelos ângulos de direção e pela relação pitagórica em 3D.

Passo 2

O ângulo \theta_{z} é o ângulo entre \mathbf{F} e o eixo z. Pela definição de cosseno de direção:
\cos\theta_{z} = \frac{F_{z}}{\lvert \mathbf{F}\rvert}
Logo,
F_{z} = \lvert \mathbf{F}\rvert\cos\theta_{z} = 210\cos(151,2^\circ)\approx 210\times(-0,8775)\approx -184,3\text{ N}.

Passo 3

Para encontrar F_{y} usamos a relação
F_x^2 + F_y^2 + F_z^2 = \lvert \mathbf{F}\rvert^2.
Substituindo valores:
F_y^2 = 210^2 - 80^2 - (-184,3)^2 = 44100 - 6400 - 33960{,}49 \approx 3739{,}51,
e como F_y<0,
F_{y} = -\sqrt{3739{,}51}\approx -61{,}2\text{ N}.

Passo 4

Os ângulos de direção \theta_{x} e \theta_{y} satisfazem
\cos\theta_{x} = \frac{F_{x}}{\lvert \mathbf{F}\rvert},\quad \cos\theta_{y} = \frac{F_{y}}{\lvert \mathbf{F}\rvert}.
Calculemos:
\theta_{x} = \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{80}{210}\Bigr)\approx \operatorname{arccos}(0,3810)\approx 67{,}6^\circ,
\theta_{y} = \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{-61{,}2}{210}\Bigr)\approx \operatorname{arccos}(-0,2914)\approx 106{,}9^\circ.

Resposta

(a) F_{y} \approx -61{,}2\text{ N},\quad F_{z} \approx -184{,}3\text{ N}.
(b) \theta_{x} \approx 67{,}6^\circ,\quad \theta_{y} \approx 106{,}9^\circ.

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