Questão 3:
Uma onda plana do tipo: \boldsymbol{Y}_{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\boldsymbol{k} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{t}), está propagando no sentido crescente do eixo x . Encontre a expressão para a intensidade desta onda.

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana transversal no eixo x com amplitude A, número de onda k, frequência angular \omega e celeridade v=\omega/k. Queremos a intensidade média dessa onda, que é a potência média transportada por unidade de área (ou, no caso de uma corda, por unidade de seção transveral). Para isso precisamos calcular a densidade de energia (cinética + potencial), tirar sua média temporal e então multiplicar pela velocidade de propagação.

Passo 2

A densidade cinética instantânea u_{\text{cin}}(x,t) numa corda de densidade linear \mu é
u_{\text{cin}}(x,t)=\frac{1}{2}\,\mu\biggl(\frac{\partial Y}{\partial t}\biggr)^{2}.
Como Y(x,t)=A\cos(kx-\omega t), temos
\frac{\partial Y}{\partial t} = A\,\omega\,\sin(kx-\omega t),
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u_{\text{cin}}(x,t) =\frac{1}{2}\,\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,\sin^{2}(kx-\omega t).

Passo 3

A densidade potencial instantânea u_{\text{pot}}(x,t) é
u_{\text{pot}}(x,t) =\frac{1}{2}\,T\biggl(\frac{\partial Y}{\partial x}\biggr)^{2},
onde T é a tensão da corda. Como \frac{\partial Y}{\partial x}=-A\,k\,\sin(kx-\omega t) e T=\mu v^{2}, obtemos
u_{\text{pot}}(x,t) =\frac{1}{2}\,\mu\,v^{2}\,A^{2}\,k^{2}\,\sin^{2}(kx-\omega t) =\frac{1}{2}\,\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,\sin^{2}(kx-\omega t).

Passo 4

A densidade total instantânea é
u(x,t)=u_{\text{cin}}+u_{\text{pot}} =\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,\sin^{2}(kx-\omega t).
A média temporal de \sin^{2} é \langle\sin^{2}\rangle=1/2, então a densidade de energia média é
\langle u\rangle =\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,\frac{1}{2} =\frac{1}{2}\,\mu\,A^{2}\,\omega^{2}.

Passo 5

A intensidade média I é a densidade de energia média multiplicada pela velocidade de propagação v:
I =\langle u\rangle\,v =\frac{1}{2}\,\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,v.
Substituindo v=\frac{\omega}{k} também podemos escrever
I =\frac{1}{2}\,\mu\,A^{2}\,\frac{\omega^{3}}{k}.

Resposta

I=\frac{1}{2}\,\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,v \quad\text{ou}\quad I=\frac{1}{2}\,\mu\,A^{2}\,\frac{\omega^{3}}{k}.

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