Questão 1:
Deduza a expressão para a equação de onda em uma corda ideal.

Passo 1

O enunciado pede que a gente deduza a equação de onda em uma corda ideal. O conteúdo é mecânica clássica e cálculo (PDE): vamos usar Newton (segunda lei) num elemento infinitesimal de corda, considerar tensão constante T e densidade linear de massa \mu, e chegar a uma relação entre \partial^2 y/\partial x^2 e \partial^2 y/\partial t^2.

Passo 2

Modelamos a corda como um meio contínuo de massa por unidade de comprimento \mu, esticado por uma tensão uniforme T. Chamamos y(x,t) o deslocamento vertical em função da posição x e do tempo t. Assumimos oscilações pequenas, de modo que os ângulos formados pela corda com a horizontal são pequenos e \sin\theta\approx\tan\theta\approx\partial y/\partial x.

Passo 3

Escolhemos um elemento de corda entre x e x+\mathrm{d}x. Nas extremidades agem tensões de mesmo módulo T, mas com direções levemente diferentes, formando ângulos \theta(x) e \theta(x+\mathrm{d}x) em relação ao eixo x. As componentes verticais dessas tensões são
T_y(x)=T\,\sin\theta(x)\approx T\,\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_{x}, \quad T_y(x+\mathrm{d}x)\approx T\,\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_{x+\mathrm{d}x}.
A força resultante vertical sobre o elemento é
F_{\rm res}=T_y(x+\mathrm{d}x)-T_y(x) \approx T\biggl(\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_{x+\mathrm{d}x} -\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_{x}\biggr).
Expandindo em série de Taylor até a ordem principal dá
F_{\rm res}\approx T\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Pelo princípio fundamental da dinâmica, essa força iguala a massa do elemento vezes sua aceleração vertical:
\mu\,\mathrm{d}x\;\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} =F_{\rm res} \approx T\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\,\mathrm{d}x.
Cancelando \mathrm{d}x dos dois lados, obtemos
\mu\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = T\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}.
Reorganizando, definindo a velocidade de propagação \;v=\sqrt{T/\mu}, chega-se à forma canônica da equação de onda:
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}.

Resposta

\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}, \quad v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.

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