Uma força de 3 N é aplicada a uma mola, fazendo com que ela se distenda de 0,5 \mathrm{~m}. Em seguida, a força é removida, um corpo de massa de 0,5 \mathrm{~kg} é suspenso na mola e submete-se o sistema a um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual à metade da velocidade instantânea. O corpo é então posto a se movimentar, partindo do repouso e a 2 m abaixo da posição de equilíbrio. Calcule o que se pede e marque a alternativa correta:
Ainda supondo que a força externa não fosse aplicada, calcule o número de vezes que o corpo cruzará completamente o ponto de equilíbrio após 5,5 \mathrm{~s} do acionamento do sistema?

Passo 1

O enunciado fala de uma mola que, sob uma força de 3,N, alonga-se 0,5,m, de modo que o módulo da constante elástica é dado por
k = \frac{F}{\Delta x} = \frac{3}{0,5} = 6\\ \text{N/m}.
Em seguida prende-se um corpo de massa m=0,5,kg nessa mola e surge uma força de amortecimento F_d tal que
F_d = c\,v,\quad c = \tfrac12\\ \text{(N·s/m)}.
O sistema é então um oscilador amortecido descrito pela equação
m\,x'' + c\,x' + k\,x = 0.
Queremos saber quantas vezes o corpo atravessa o ponto de equilíbrio em t=5,5,s, partindo do repouso em x(0)=-2,m (2 m abaixo do equilíbrio).

Passo 2

Vamos escrever a equação característica. Substituindo m=0.5, c=0.5, k=6 em
0.5\,x'' + 0.5\,x' + 6\,x = 0
ou, dividindo por 0.5,
x'' + x' + 12\,x = 0.
O coeficiente de amortecimento é \alpha = \tfrac{c}{2m} = 0{,}5/(2\cdot0{,}5)=0{,}5 e a frequência natural sem amortecimento é \omega_0 = \sqrt{k/m}=\sqrt{12}\approx3{,}464. Como \alpha < \omega_0, temos regime subamortecido, com frequência amortecida
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} =\sqrt{12 - 0{,}5^2} \approx3{,}428\\ \text{s}^{-1}.

Passo 3

A solução geral subamortecida é
x(t) = e^{-\alpha t}\bigl(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\bigr).
Impondo x(0)=-2 e x'(0)=0, achamos
C_1 = -2,\quad -\alpha C_1 + \omega_d C_2 = 0 \;\Longrightarrow\;C_2=-\frac{\alpha C_1}{\omega_d}=-\frac{0{,}5\cdot(-2)}{3{,}428}=-\frac{1}{3{,}428}\approx-0{,}292.
Logo
x(t)=e^{-0.5t}\Bigl(-2\cos(3.428\,t)-0.292\,\sin(3.428\,t)\Bigr).
As passagens pelo equilíbrio ocorrem quando x(t)=0, ou seja quando
\cos\bigl(\omega_d t-\delta\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega_d t-\delta = \frac{(2n+1)\pi}{2},
onde \delta é a fase inicial e n=0,1,2,\dots. A primeira raiz positiva vem em
t_0 = \frac{\delta + \tfrac\pi2}{\omega_d}\approx1{,}417\\ \text{s},
e as consecutivas se repetem a cada
\Delta t = \frac{\pi}{\omega_d}\approx0{,}917\\ \text{s}.

Passo 4

Para contar quantas passagens há até T=5{,}5,s, vemos quantos valores
t_n = t_0 + n\,\Delta t \le 5{,}5.
Calculando
n_{\max} = \Bigl\lfloor\frac{5{,}5 - 1{,}417}{0{,}917}\Bigr\rfloor = \lfloor4{,}453\rfloor = 4.
Isso significa n=0,1,2,3,4, totalizando 5 cruzamentos completos do ponto de equilíbrio em 5{,}5,s.

Resposta

5 cruza­ments.

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