Uma força de 3 N é aplicada a uma mola, fazendo com que ela se distenda de
. Em seguida, a força é removida, um corpo de massa de
é suspenso na mola e submete-se o sistema a um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual à metade da velocidade instantânea. O corpo é então posto a se movimentar, partindo do repouso e a 2 m abaixo da posição de equilíbrio. Calcule o que se pede e marque a alternativa correta:
Ainda supondo que a força externa não fosse aplicada, calcule o número de vezes que o corpo cruzará completamente o ponto de equilíbrio após
do acionamento do sistema?
Ainda supondo que a força externa não fosse aplicada, calcule o número de vezes que o corpo cruzará completamente o ponto de equilíbrio após
Passo 1
O enunciado fala de uma mola que, sob uma força de
,N, alonga-se
,m, de modo que o módulo da constante elástica é dado por
Em seguida prende-se um corpo de massa
,kg nessa mola e surge uma força de amortecimento
tal que
O sistema é então um oscilador amortecido descrito pela equação
Queremos saber quantas vezes o corpo atravessa o ponto de equilíbrio em
,s, partindo do repouso em
,m (2 m abaixo do equilíbrio).
Passo 2
Vamos escrever a equação característica. Substituindo
,
,
em
ou, dividindo por
,
O coeficiente de amortecimento é
e a frequência natural sem amortecimento é
. Como
, temos regime subamortecido, com frequência amortecida
Passo 3
A solução geral subamortecida é
Impondo
e
, achamos
Logo
As passagens pelo equilíbrio ocorrem quando
, ou seja quando
onde
é a fase inicial e
. A primeira raiz positiva vem em
e as consecutivas se repetem a cada
Passo 4
Para contar quantas passagens há até
,s, vemos quantos valores
Calculando
Isso significa
, totalizando
cruzamentos completos do ponto de equilíbrio em
,s.