Resolva a equação de Cauchy-Euler utilizando o método da variação dos parâmetros e marque a alternativa correta:
x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=x^{3} \ln x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler
x^{2}y'' - 2x\,y' + 2y = x^{3}\ln x
usando o método da variação dos parâmetros. Precisamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois construir uma solução particular pelo método de variação dos parâmetros.

Passo 2

Para a equação homogênea
x^{2}y'' - 2x\,y' + 2y = 0
fazemos a substituição típica y=x^{m}. Isso leva à equação característica
m(m-1) - 2m +2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}-3m+2=0 \quad\Longrightarrow\quad (m-1)(m-2)=0,
logo m_{1}=1 e m_{2}=2. Assim a solução homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2}.

Passo 3

Dividimos a equação original por x^{2} para deixá-la na forma padrão
y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^{2}}y = x\ln x.

Passo 4

Escolhemos as soluções independentes y_{1}=x e y_{2}=x^{2}. O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ \displaystyle y_{1}' & \displaystyle y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & x^{2} \\\\ 1 & 2x \end{vmatrix} = x\cdot 2x - x^{2}\cdot 1 = x^{2}.
Pelas fórmulas de variação dos parâmetros, se escrevemos
y_{p}=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x),
então
u_{1}' = -\frac{f(x)\,y_{2}}{W}, \quad u_{2}' = \frac{f(x)\,y_{1}}{W},
onde f(x)=x\ln x.

Passo 5

Calculamos
u_{1}' = -\frac{x\ln x \;\cdot x^{2}}{x^{2}} = -\,x\ln x, \quad u_{2}' = \frac{x\ln x\;\cdot x}{x^{2}} = \ln x.

Passo 6

Integramos para encontrar u_{1} e u_{2}:
u_{1} = \int -x\ln x\,dx = -\frac{x^{2}}{2}\ln x + \frac{x^{2}}{4},
u_{2} = \int \ln x\,dx = x\ln x - x.

Passo 7

Agora montamos a solução particular:
y_{p} = u_{1}\,y_{1} + u_{2}\,y_{2} = \Bigl(-\tfrac{x^{2}}{2}\ln x + \tfrac{x^{2}}{4}\Bigr)x + (x\ln x - x)\,x^{2}.
Distribuindo e somando termos semelhantes:
y_{p} = -\frac{x^{3}}{2}\ln x + \frac{x^{3}}{4} + x^{3}\ln x - x^{3} = \frac{x^{3}}{2}\ln x \;-\;\frac{3\,x^{3}}{4}.

Passo 8

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
\boxed{ y(x) = C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2} + \frac{x^{3}}{2}\ln x \;-\;\frac{3\,x^{3}}{4}. }

Resposta

y(x) = C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2} + \tfrac{x^{3}}{2}\ln x - \tfrac{3\,x^{3}}{4}.

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