Uma força de 3 N é aplicada a uma mola, fazendo com que ela se distenda de 0,5 \mathrm{~m}. Em seguida, a força é removida, um corpo de massa de 0,5 \mathrm{~kg} é suspenso na mola e submete-se o sistema a um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual à metade da velocidade instantânea. O corpo é então posto a se movimentar, partindo do repouso e a 2 m abaixo da posição de equilíbrio. Calcule o que se pede e marque a alternativa correta:
Se a força externa não fosse aplicada, qual o tempo aproximado até o corpo cruzar o ponto de equilíbrio pela primeira vez?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa-mola amortecido sem força externa após a suspensão da massa. Temos uma mola que, com uma força de 3\\ \mathrm{N}, se estende 0,5\\ \mathrm{m}, e depois pendura-se uma massa de 0,5\\ \mathrm{kg}. O meio oferece uma força de amortecimento f_d=0,5\,v. Partindo do repouso a 2\\ \mathrm{m} abaixo da posição de equilíbrio, queremos o tempo até o corpo cruzar o ponto de equilíbrio pela primeira vez. O conteúdo é equações diferenciais de um amortecimento viscoso subamortecido.

Passo 2

Primeiro achamos a constante elástica da mola usando a lei de Hooke:
k = \frac{F}{\Delta x} = \frac{3}{0,5} = 6\\ \mathrm{N/m}.
A equação do movimento em torno da posição de equilíbrio (medida x positiva para baixo) é
m\,x'' + c\,x' + k\,x = 0,
com m=0,5\\ \mathrm{kg} e coeficiente de amortecimento c=0,5\\ \mathrm{N\,s/m}.

Passo 3

Definimos os parâmetros do regime subamortecido:
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{6}{0,5}} = \sqrt{12}\approx3,464\\ \mathrm{rad/s},
\gamma = \frac{c}{2m} = \frac{0,5}{2\cdot0,5} = 0,5\\ \mathrm{s^{-1}},
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = \sqrt{12 - 0,25} = \sqrt{11,75}\approx3,429\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

A solução geral é
x(t) = e^{-\gamma t}\bigl(C\cos(\omega_d t) + D\sin(\omega_d t)\bigr).
Condições iniciais:
x(0)=2,\quad x'(0)=0.
Logo C=2 e, calculando x'(0), obtemos
0 = x'(0) = -\gamma C + D\,\omega_d \;\Longrightarrow\; D = \frac{\gamma C}{\omega_d} = \frac{0,5\cdot2}{3,429}\approx0,292.

Passo 5

Para achar o instante t em que x(t)=0 pela primeira vez, impomos
2\cos(\omega_d t) + 0,292\sin(\omega_d t) = 0 \;\Longrightarrow\; \tan(\omega_d t) = -\frac{2}{0,292}\approx-6,857.
A menor solução positiva é
\omega_d t = \pi - \arctan(6,857)\approx1,7165\\ \mathrm{rad},
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t = \frac{1,7165}{\omega_d} \approx \frac{1,7165}{3,429}\approx0,50\\ \mathrm{s}.

Resposta

O corpo leva aproximadamente 0,50\\ \mathrm{s} até cruzar o ponto de equilíbrio pela primeira vez.

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