Uma força de 3 N é aplicada a uma mola, fazendo com que ela se distenda de
. Em seguida, a força é removida, um corpo de massa de
é suspenso na mola e submete-se o sistema a um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual à metade da velocidade instantânea. O corpo é então posto a se movimentar, partindo do repouso e a 2 m abaixo da posição de equilíbrio. Calcule o que se pede e marque a alternativa correta:
Se a força externa não fosse aplicada, qual o tempo aproximado até o corpo cruzar o ponto de equilíbrio pela primeira vez?
Se a força externa não fosse aplicada, qual o tempo aproximado até o corpo cruzar o ponto de equilíbrio pela primeira vez?
Passo 1
O enunciado trata de um sistema massa-mola amortecido sem força externa após a suspensão da massa. Temos uma mola que, com uma força de
, se estende
, e depois pendura-se uma massa de
. O meio oferece uma força de amortecimento
. Partindo do repouso a
abaixo da posição de equilíbrio, queremos o tempo até o corpo cruzar o ponto de equilíbrio pela primeira vez. O conteúdo é equações diferenciais de um amortecimento viscoso subamortecido.
Passo 2
Primeiro achamos a constante elástica da mola usando a lei de Hooke:
A equação do movimento em torno da posição de equilíbrio (medida
positiva para baixo) é
com
e coeficiente de amortecimento
.
Passo 3
Definimos os parâmetros do regime subamortecido:
Passo 4
A solução geral é
Condições iniciais:
Logo
e, calculando
, obtemos
Passo 5
Para achar o instante
em que
pela primeira vez, impomos
A menor solução positiva é
logo
Resposta
O corpo leva aproximadamente
até cruzar o ponto de equilíbrio pela primeira vez.