Calcule a integral tripla
\iiint_{W} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V
onde W é a regiāo no primeiro octate compreendida entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e acima do cone 3 z^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{W}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV
onde W é a região no primeiro octante (isto é, x,y,z\ge0) limitada pelas esferas
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
e acima do cone
3z^{2}=x^{2}+y^{2}\,.
Para resolvermos, usamos coordenadas esféricas, pois a região é descrita naturalmente por distâncias ao origem e ângulos.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi,
com jacobiano
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta,
e a função dentro da integral fica
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = r.

Passo 3

Agora determinamos os limites de integração.
  • A esfera interna r=2 e externa r=3 implicam 2 \le r \le 3.
  • O primeiro octante dá 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2},\quad 0 \le \varphi \le \tfrac{\pi}{2}.
  • O cone 3z^{2}=x^{2}+y^{2} em esféricas é 3(r\cos\varphi)^{2} = (r\sin\varphi)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \tfrac{\pi}{3}.
Como queremos a porção acima do cone, temos
0 \le \varphi \le \tfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Substituindo tudo, a integral vira
\iiint_{W} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{\varphi=0}^{\pi/3}\!\int_{r=2}^{3} \bigl(r\bigr)\bigl(r^{2}\sin\varphi\bigr)\,dr\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{\pi/3}\!\int_{2}^{3} r^{3}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Primeiro integramos em r:
\int_{2}^{3} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{2}^{3} = \frac{3^{4}-2^{4}}{4} = \frac{81-16}{4} = \frac{65}{4}.

Passo 5

Agora ficamos com
\frac{65}{4} \int_{0}^{\pi/2}d\theta \int_{0}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{\pi/2}d\theta = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_{0}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/3} = 1 - \tfrac12 = \tfrac12.
Multiplicando tudo:
\frac{65}{4}\times \frac{\pi}{2}\times \frac12 = \frac{65\pi}{16}.

Resposta

\frac{65\pi}{16}.

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