Calcule a integral tripla
onde
é a regiāo no primeiro octate compreendida entre as esferas
,
e acima do cone
.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla
onde
é a região no primeiro octante (isto é,
) limitada pelas esferas
e acima do cone
Para resolvermos, usamos coordenadas esféricas, pois a região é descrita naturalmente por distâncias ao origem e ângulos.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com jacobiano
e a função dentro da integral fica
Passo 3
Agora determinamos os limites de integração.
- A esfera interna
e externa implicam - O primeiro octante dá
- O cone
em esféricas é
Como queremos a porção acima do cone, temos
Passo 4
Substituindo tudo, a integral vira
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Agora ficamos com
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo: