Um disco de raio R é uniformemente carregado de modo que sua densidade superficial de carga é dada por σ. Considere o cálculo do módulo do campo elétrico sobre o eixo de simetria do disco a uma distância x do centro do disco. Este é um exemplo do livro.
, ou seja, para o limite de um plano infinito uniformemente carregado, qual é o módulo do campo elétrico? Assinale a alternativa abaixo conforme a legenda:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5)
.
Escolha uma opção:
◯ a. (3)
◯ b. (4)
◯ c. (2)
◯ d. (1)
◯ e. (5)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
◯ a. (3)
◯ b. (4)
◯ c. (2)
◯ d. (1)
◯ e. (5)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dado: um disco de raio
com densidade superficial de carga uniforme . - Dado: ponto sobre o eixo de simetria do disco, à distância
do centro do disco. - Pedido: calcular o módulo do campo elétrico no eixo quando
(ou seja, no limite em que o disco se torna muito grande comparado a , aproximando-se de um plano infinitamente extenso). - Também foram fornecidas alternativas; entre elas existe a expressão
(opção ).
Passo 2
Vamos obter a expressão do campo no eixo do disco por integração (método clássico que costuma cair em prova). A ideia: dividir o disco em anéis concêntricos e somar (integrar) a contribuição de cada anel.
- Considere um anel de raio
e espessura . - Área do anel:
. - Carga no anel:
. - Distância do elemento de carga até o ponto sobre o eixo:
. - A contribuição do anel para o campo no ponto tem direção ao longo do eixo; as componentes radiais se cancelam por simetria, resta apenas a componente axial. Pelo princípio de Coulomb, o módulo do campo produzido por
em uma distância é . A componente axial multiplica por , com .
Portanto, a contribuição axial
do anel vale
Substituindo
:
Simplificando os fatores:
Agora integramos
de
até
para obter o campo total
:
Passo 3
Vamos calcular a integral. Faça a substituição
. Então
, ou seja
. Quando
,
. Quando
,
. Assim:
Calcule a primitiva:
. Multiplicando por
dá primitiva
. Avaliando os limites:
Substituindo na expressão de
:
Essa é a forma conhecida do campo axial de um disco uniformemente carregado:
Passo 4
Agora avaliamos o limite pedido:
. Isso corresponde à situação em que
é muito maior que
(ou equivalentemente
com
fixo). Observe o termo
. Quando
,
Portanto, no limite,
Ou seja, o módulo do campo no limite do plano infinito é
.
Passo 5
Breve verificação física (intuição): para um plano infinitamente extenso e uniformemente carregado, por simetria o campo tem magnitude constante e aponta perpendicularmente ao plano; pelo teorema de Gauss (caixa cilíndrica atravessando o plano) obtém-se diretamente
de cada lado do plano — confirmação da resposta acima.
Resposta
d.