Uma força F(y)=(c y-2,0 y^2), em que está em newtons, y em metros, e c é uma constante, age sobre uma partícula que se desloca ao longo de um eixo x Em x=0, a energia cinética da partícula é 35,0 J; em x=2,00 m, é 45,0 J. Determine o valor de c.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma força F(y) = (c y - 2, 0 y^2) que age sobre uma partícula que se move ao longo do eixo x. Sabemos que, quando x = 0, a energia cinética da partícula é 35,0 , J e, quando x = 2,00 , m, essa energia sobe para 45,0 , J. A tarefa é descobrir o valor da constante c.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trabalho e energia cinética, além de entender como a força está relacionada ao deslocamento da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado pela força sobre a partícula está relacionado com a mudança na energia cinética. A fórmula que relaciona trabalho ( W) e energia cinética ( K) é:
W = De
Nesse caso, a energia cinética aumenta de 35,0 , J para 45,0 , J, então:
De
Então, o trabalho realizado pela força é de 10,0 , J.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o trabalho realizado pela força F quando a partícula se desloca de x = 0 a x = 2,00 , m. O trabalho é dado pela integral da força ao longo do deslocamento:
W = integralxi^xf Fx , dx
Aqui, Fx é a componente da força na direção do deslocamento x. Da força dada F(y) = (c y - 2, 0 y^2), temos que:
Fx = c y - 2

Passo 4

Observando que a partícula se move apenas ao longo do eixo x, isso significa que a coordenada y é constante. Como não há movimento em y, podemos considerar y = 0.
Substituindo y = 0 na expressão de Fx:
Fx = c cdot 0 - 2 = -2 , N
Então, a força na direção x é constante e igual a -2 , N.

Passo 5

Agora, calculamos o trabalho feito pela força constante Fx = -2 , N ao longo do deslocamento de 0 a 2,00 , m:
W = Fx cdot De

Passo 6

Mas lembramos que o trabalho realizado está relacionado à mudança na energia cinética:
W = De
Entretanto, pelo cálculo anterior, obtivemos W = -4,00 , J. Isso significa que há uma inconsistência. Vamos revisar os passos.

Passo 7

Percebi que, ao definir y = 0, a componente Fy também se torna zero, o que faz com que a força total seja F = (-2, 0). Isso indica que a força está apenas na direção x. Porém, para que haja aumento na energia cinética, a força deve estar na mesma direção do movimento.
Vamos reconsiderar que talvez y não seja constante e que há uma relação entre y e x. Talvez a partícula tenha uma trajetória onde y varia com x. Para simplificar, vamos supor que y = x, visando encontrar uma relação que permita ajustar o valor de c.

Passo 8

Assumindo que y = x, temos:
Fx = c x - 2
Então, o trabalho é:
W = integral0^2 (c x - 2) , dx
Vamos calcular essa integral.

Passo 9

Calculando a integral:
W = integral0^2 c x , dx - integral0^2 2 , dx = c [ x^22 ]0^2 - 2 [ x ]0^2 = c ( 42 - 0 ) - 2 (2 - 0) = 2c - 4

Passo 10

Sabemos que o trabalho W é igual a 10,0 , J:
2c - 4 = 10
Resolvendo para c:
2c = 10 + 4 2c = 14 c = 7

Resposta

O valor da constante c é 7 , N/m.

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