A força que um osso suporta é proporcional à área de sua secção transversal (
), e a massa é proporcional ao volume (
). Se um animal dobra de altura (
), como o raio (
) do fêmur deve escalar para manter a tensão (stress) constante?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara:
- Dado: a força que um osso consegue suportar é proporcional à área de sua secção transversal, ou seja à
, onde é o raio do osso. - Dado: a massa do animal é proporcional ao volume, ou seja à
, onde é a altura (comprimento linear) característica do animal. - Pedido: quando o animal dobra de altura (
), de que forma o raio do fêmur deve escalar para manter a tensão (stress) constante?
Passo 2
Vamos definir o que é tensão (stress) de forma simples e direta:
- A tensão média numa seção é a força aplicada dividida pela área dessa seção. Em símbolos:
onde
é a tensão,
é a força (aqui: o peso que o osso precisa aguentar) e
é a área da secção transversal do osso.
Passo 3
Relacionando as grandezas com as informações do enunciado:
- O peso (força) que o osso precisa suportar escala como a massa, então
- A área da secção transversal do fêmur escala com o quadrado do raio, então
Estas são proporcionalidades: significam que existem constantes
tais que
e
, mas a constante não importa para obter a lei de escala entre
e
.
Passo 4
Escrevendo a tensão usando essas proporcionalidades:
Para manter a tensão
constante quando mudamos o tamanho do animal, a razão
deve ser constante. Assim temos a relação de escala necessária:
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos a lei de escala entre
e
:
Passo 5
Agora aplica-se ao caso específico
. Se
, então o novo raio
quando a altura dobra é
Podemos escrever
e dar uma aproximação numérica:
Ou seja, ao dobrar a altura, o raio do fêmur deve aumentar por um fator aproximadamente
.
Resposta
Ao dobrar a altura,