A força que um osso suporta é proporcional à área de sua secção transversal ( r^{2} ), e a massa é proporcional ao volume ( \mathrm{L}^{3} ). Se um animal dobra de altura ( L \rightarrow 2 L ), como o raio ( \mathbf{r} ) do fêmur deve escalar para manter a tensão (stress) constante?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara:
  • Dado: a força que um osso consegue suportar é proporcional à área de sua secção transversal, ou seja à r^{2}, onde r é o raio do osso.
  • Dado: a massa do animal é proporcional ao volume, ou seja à L^{3}, onde L é a altura (comprimento linear) característica do animal.
  • Pedido: quando o animal dobra de altura ( L \rightarrow 2L), de que forma o raio do fêmur r deve escalar para manter a tensão (stress) constante?

Passo 2

Vamos definir o que é tensão (stress) de forma simples e direta:
  • A tensão média numa seção é a força aplicada dividida pela área dessa seção. Em símbolos:
\sigma = \frac{F}{A}
onde \sigma é a tensão, F é a força (aqui: o peso que o osso precisa aguentar) e A é a área da secção transversal do osso.

Passo 3

Relacionando as grandezas com as informações do enunciado:
  • O peso (força) que o osso precisa suportar escala como a massa, então
F \propto L^{3}.
  • A área da secção transversal do fêmur escala com o quadrado do raio, então
A \propto r^{2}.
Estas são proporcionalidades: significam que existem constantes k_1,k_2 tais que F=k_1L^3 e A=k_2r^2, mas a constante não importa para obter a lei de escala entre r e L.

Passo 4

Escrevendo a tensão usando essas proporcionalidades:
\sigma = \frac{F}{A} \propto \frac{L^{3}}{r^{2}}.
Para manter a tensão \sigma constante quando mudamos o tamanho do animal, a razão \dfrac{L^{3}}{r^{2}} deve ser constante. Assim temos a relação de escala necessária:
\frac{L^{3}}{r^{2}} = \text{constante} \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\propto L^{3}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos a lei de escala entre r e L:
r \propto L^{3/2}.

Passo 5

Agora aplica-se ao caso específico L \rightarrow 2L. Se r\propto L^{3/2}, então o novo raio r' quando a altura dobra é
r' = r\cdot 2^{3/2}.
Podemos escrever 2^{3/2}=2\sqrt{2} e dar uma aproximação numérica:
2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx 2,828.
Ou seja, ao dobrar a altura, o raio do fêmur deve aumentar por um fator aproximadamente 2,828.

Resposta

r\propto L^{3/2}.
Ao dobrar a altura, r deve ser multiplicado por 2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx 2,828.

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