O custo metabólico de locomoção por unidade de distância e massa escala como
. Compare a eficiência energética na locomoção de um gavião (
) voando e de um elefante (
) caminhando.
Passo 1
O enunciado dá a lei de escala do custo metabólico de locomoção por unidade de distância e por unidade de massa e pede uma comparação entre um gavião, de massa
, voando, e um elefante, de massa
, caminhando. Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: qual dos dois é mais eficiente energeticamente, considerando essa lei de escala? (Devemos comparar tanto o custo por unidade de massa quanto o custo total por unidade de distância.)
Passo 2
Vamos entender o que significa a expressão dada e colocar em forma matemática explícita. Dizer que
escala como
significa que existe uma constante positiva
tal que, para um animal de massa
,
Aqui
é a energia gasta por unidade de massa por unidade de distância (por exemplo, J·kg{-1}·m{-1}),
é a massa do animal (em kg) e
é uma constante que incorpora detalhes fisiológicos e o tipo de locomoção (assumimos a mesma constante para comparar a dependência em
). Note: quanto menor
, mais eficiente é a locomoção por kg.
Passo 3
Agora definimos o custo energético total por unidade de distância do animal inteiro (energia por metro percorrido, sem dividir por massa). Se cada quilograma gasta
por metro, o animal inteiro de massa
gasta
Substituindo
obtemos
Então o custo total por metro cresce com a massa como
. Interpretação: por kg o custo cai com
, mas como há mais massa, o gasto total por metro aumenta como
.
Passo 4
Comparação por unidade de massa (eficiência por kg): calculemos a razão entre os custos por unidade de massa do gavião (
) e do elefante (
):
Como tipicamente
, a razão
é maior que 1. Conclusão: por unidade de massa o elefante é mais eficiente — o gavião gasta mais energia por kg por metro.
Passo 5
Comparação do custo total por unidade de distância (energia por metro para o animal inteiro): calculemos a razão entre
e
:
Como
, a razão
é muito menor que 1. Conclusão: em termos absolutos (energia por metro percorrido), o gavião gasta muito menos energia por metro que o elefante (mas isso é óbvio porque o elefante é muito mais pesado).
Passo 6
Para dar intuição numérica, escolha massas típicas:
(um gavião pequeno) e
(um elefante). Então
ou seja, por kg o gavião gasta cerca de 17 vezes mais energia por metro que o elefante. E
ou seja, o gavião gasta cerca de
da energia por metro que o elefante gasta (em valores absolutos).
Passo 7
Resumo interpretativo e dica para prova: quando uma quantidade escala como
por unidade de massa, animais maiores têm menor gasto por kg; ao multiplicar por
para obter o gasto total por distância surge
, mostrando que o gasto absoluto aumenta com massa, mas menos que linear. Na prova, escreva a proporcionalidade como uma igualdade com constante
, derive as razões como fizemos e interprete o resultado fisicamente.
Resposta
Por unidade de massa: o elefante é mais eficiente;
(portanto o gavião gasta mais energia por kg por metro).
Por animal (custo total por metro): o gavião gasta muito menos; .
Por animal (custo total por metro): o gavião gasta muito menos;