O custo metabólico de locomoção por unidade de distância e massa escala como \mathrm{C} \propto \mathrm{m}^{-1 / 3}. Compare a eficiência energética na locomoção de um gavião ( \mathrm{m}_{\mathrm{G}} ) voando e de um elefante ( \mathrm{m}_{\mathrm{E}} ) caminhando.

Passo 1

O enunciado dá a lei de escala do custo metabólico de locomoção por unidade de distância e por unidade de massa e pede uma comparação entre um gavião, de massa \mathrm{m}_{\mathrm{G}}, voando, e um elefante, de massa \mathrm{m}_{\mathrm{E}}, caminhando. Informações relevantes fornecidas:
\text{o custo por unidade de distância e massa } C \propto m^{-1/3}.â
A pergunta é: qual dos dois é mais eficiente energeticamente, considerando essa lei de escala? (Devemos comparar tanto o custo por unidade de massa quanto o custo total por unidade de distância.)

Passo 2

Vamos entender o que significa a expressão dada e colocar em forma matemática explícita. Dizer que C escala como m^{-1/3} significa que existe uma constante positiva k tal que, para um animal de massa m,
C = k\, m^{-1/3}.
Aqui C é a energia gasta por unidade de massa por unidade de distância (por exemplo, J·kg{-1}·m{-1}), m é a massa do animal (em kg) e k é uma constante que incorpora detalhes fisiológicos e o tipo de locomoção (assumimos a mesma constante para comparar a dependência em m). Note: quanto menor C, mais eficiente é a locomoção por kg.

Passo 3

Agora definimos o custo energético total por unidade de distância do animal inteiro (energia por metro percorrido, sem dividir por massa). Se cada quilograma gasta C por metro, o animal inteiro de massa m gasta
E = C\cdot m.
Substituindo C = k\, m^{-1/3} obtemos
E = k\, m^{-1/3}\cdot m = k\, m^{2/3}.
Então o custo total por metro cresce com a massa como m^{2/3}. Interpretação: por kg o custo cai com m^{-1/3}, mas como há mais massa, o gasto total por metro aumenta como m^{2/3}.

Passo 4

Comparação por unidade de massa (eficiência por kg): calculemos a razão entre os custos por unidade de massa do gavião ( C_G) e do elefante ( C_E):
\frac{C_G}{C_E}=\frac{k\, m_G^{-1/3}}{k\, m_E^{-1/3}}=\left(\frac{m_G}{m_E}\right)^{-1/3}=\left(\frac{m_E}{m_G}\right)^{1/3}.
Como tipicamente \mathrm{m}_{\mathrm{E}}\gg \mathrm{m}_{\mathrm{G}}, a razão \left(\dfrac{m_E}{m_G}\right)^{1/3} é maior que 1. Conclusão: por unidade de massa o elefante é mais eficiente — o gavião gasta mais energia por kg por metro.

Passo 5

Comparação do custo total por unidade de distância (energia por metro para o animal inteiro): calculemos a razão entre E_G e E_E:
\frac{E_G}{E_E}=\frac{k\, m_G^{2/3}}{k\, m_E^{2/3}}=\left(\frac{m_G}{m_E}\right)^{2/3}.
Como \mathrm{m}_{\mathrm{G}}\ll \mathrm{m}_{\mathrm{E}}, a razão \left(\dfrac{m_G}{m_E}\right)^{2/3} é muito menor que 1. Conclusão: em termos absolutos (energia por metro percorrido), o gavião gasta muito menos energia por metro que o elefante (mas isso é óbvio porque o elefante é muito mais pesado).

Passo 6

Para dar intuição numérica, escolha massas típicas: \mathrm{m}_{\mathrm{G}}=1\\ \mathrm{kg} (um gavião pequeno) e \mathrm{m}_{\mathrm{E}}=5000\\ \mathrm{kg} (um elefante). Então
\frac{C_G}{C_E}=\left(\frac{5000}{1}\right)^{1/3}\approx 5000^{1/3}\approx 17{,}1,
ou seja, por kg o gavião gasta cerca de 17 vezes mais energia por metro que o elefante. E
\frac{E_G}{E_E}=\left(\frac{1}{5000}\right)^{2/3}\approx (5000^{1/3})^{-2}\approx 17{,}1^{-2}\approx 0{,}0034,
ou seja, o gavião gasta cerca de 0{,}34\% da energia por metro que o elefante gasta (em valores absolutos).

Passo 7

Resumo interpretativo e dica para prova: quando uma quantidade escala como m^{-1/3} por unidade de massa, animais maiores têm menor gasto por kg; ao multiplicar por m para obter o gasto total por distância surge m^{2/3}, mostrando que o gasto absoluto aumenta com massa, mas menos que linear. Na prova, escreva a proporcionalidade como uma igualdade com constante k, derive as razões como fizemos e interprete o resultado fisicamente.

Resposta

Por unidade de massa: o elefante é mais eficiente; \dfrac{C_G}{C_E}=\left(\dfrac{m_E}{m_G}\right)^{1/3} (portanto o gavião gasta mais energia por kg por metro).
Por animal (custo total por metro): o gavião gasta muito menos; \dfrac{E_G}{E_E}=\left(\dfrac{m_G}{m_E}\right)^{2/3}.

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