- A força de resistência do ar,
, para corpos relativamente massivos como carros, aviões etc. e com velocidade altas, pode ser modelada como sendo proporcional ao quadrado do módulo velocidade
e cujo sentido é sempre contrário ao da mesma:
, onde
é uma constante que depende da geometria do corpo, da área de contato com o ar e da densidade do ar, e
. Considere um corpo de massa
em queda livre inicialmente em repouso. Orientando o eixo
verticalmente para baixo, encontre:
c) a posição em função do tempo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- Força de resistência do ar:
, com . - Massa do corpo:
. - Aceleração da gravidade:
(assumimos vertical para baixo com sinal positivo). - Velocidade inicial:
(o corpo é lançado a partir do repouso). - Orientação: eixo
vertical para baixo; tomo positivo para baixo. - O enunciado pede: a posição
em função do tempo. Vou também usar a condição natural de referência (posição inicial zero).
Passo 2
Escrever a equação do movimento e explicá-la passo a passo.
- A segunda lei de Newton na direção vertical (para baixo positivo) é
onde
é o módulo da força de resistência (aponta para cima, oposta ao movimento para baixo). Pelo enunciado
. Portanto a equação fica
- Aqui:
é o módulo da velocidade na direção vertical para baixo, é a taxa de variação de no tempo, e os termos da direita são força peso (para baixo) menos resistência do ar (para cima).
Passo 3
Identificar a velocidade terminal e interpretar fisicamente.
- Velocidade terminal
é o valor de tal que . Da equação:
- Interpretação: quando
as forças se equilibram e o corpo cai com velocidade constante. Esse valor é útil para escrever a equação de modo adimensional.
Passo 4
Resolver a equação diferencial para
por separação de variáveis (a técnica mais direta).
- Reescrevo a equação usando
. Dividindo ambos os lados por :
- Separe variáveis:
- A integral à esquerda é a primitiva de
com . Como , obtemos (integrando de a e de a ):
Passo 5
Isolar
usando a função hiperbólica inversa e direta, e comentar a forma final.
- Da igualdade anterior:
- Aplicando a função hiperbólica tangente em ambos os lados:
- Portanto
- Observação pedagógica: para
temos , logo (regime inicial sem resistência), e para e (velocidade terminal), o que faz sentido fisicamente.
Passo 6
Integrar
para obter a posição
.
- Sabendo
, integro em :
- Use a primitiva
. Com temos
- Aplicando os limites de
a e a condição inicial (que fixa de modo que a expressão valha zero em ):
- Como
e , resulta
Passo 7
Apresentar formas equivalentes e checar dimensões/limites (útil para prova).
- Usando
obtém-se a forma sem :
- Dimensionalmente:
comprimento, e o argumento da é adimensional, então a expressão tem unidade de comprimento — consistente. - Limites:
- Para
, e (regime inicial sem resistência). - Para
, (movimento aproximado com velocidade terminal).
- Para