1. A força de resistência do ar, \mathbf{f}, para corpos relativamente massivos como carros, aviões etc. e com velocidade altas, pode ser modelada como sendo proporcional ao quadrado do módulo velocidade \mathbf{v} e cujo sentido é sempre contrário ao da mesma: \mathbf{f}=-k v^{2} \hat{\mathbf{v}}, onde k é uma constante que depende da geometria do corpo, da área de contato com o ar e da densidade do ar, e v=|\mathbf{v}|. Considere um corpo de massa m em queda livre inicialmente em repouso. Orientando o eixo O y verticalmente para baixo, encontre:
c) a posição em função do tempo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Força de resistência do ar: \mathbf{f}=-k v^{2}\,\hat{\mathbf{v}}, com k>0.
  • Massa do corpo: m.
  • Aceleração da gravidade: g (assumimos vertical para baixo com sinal positivo).
  • Velocidade inicial: v(0)=0 (o corpo é lançado a partir do repouso).
  • Orientação: eixo O y vertical para baixo; tomo y positivo para baixo.
  • O enunciado pede: a posição y(t) em função do tempo. Vou também usar a condição natural de referência y(0)=0 (posição inicial zero).

Passo 2

Escrever a equação do movimento e explicá-la passo a passo.
  • A segunda lei de Newton na direção vertical (para baixo positivo) é
m\frac{dv}{dt} = mg - f_{\text{mód}},ó
onde f_{\text{mód}}ó é o módulo da força de resistência (aponta para cima, oposta ao movimento para baixo). Pelo enunciado f_{\text{mód}}=k v^{2}ó. Portanto a equação fica
m\frac{dv}{dt}=mg - k v^{2}.
  • Aqui: v(t) é o módulo da velocidade na direção vertical para baixo, \frac{dv}{dt} é a taxa de variação de v no tempo, e os termos da direita são força peso mg (para baixo) menos resistência do ar k v^{2} (para cima).

Passo 3

Identificar a velocidade terminal e interpretar fisicamente.
  • Velocidade terminal \,v_T é o valor de v tal que \frac{dv}{dt}=0. Da equação:
0 = mg - k v_T^{2}\quad\Rightarrow\quad v_T=\sqrt{\dfrac{mg}{k}}.
  • Interpretação: quando v=v_T as forças se equilibram e o corpo cai com velocidade constante. Esse valor é útil para escrever a equação de modo adimensional.

Passo 4

Resolver a equação diferencial para v(t) por separação de variáveis (a técnica mais direta).
  • Reescrevo a equação usando v_T. Dividindo ambos os lados por m:
\frac{dv}{dt}=g - \frac{k}{m}v^{2}=g\left(1-\frac{v^{2}}{v_T^{2}}\right).
  • Separe variáveis:
\frac{dv}{1-(v/v_T)^{2}} = g\,dt.
  • A integral à esquerda é a primitiva de \dfrac{1}{1-u^{2}} com u=v/v_T. Como \dfrac{d}{du}\operatorname{arctanh}(u)=\dfrac{1}{1-u^{2}}, obtemos (integrando de 0 a v e de 0 a t):
v_T\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{v}{v_T}\right)=g t.

Passo 5

Isolar v(t) usando a função hiperbólica inversa e direta, e comentar a forma final.
  • Da igualdade anterior:
\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{v}{v_T}\right)=\frac{g t}{v_T}.
  • Aplicando a função hiperbólica tangente em ambos os lados:
\frac{v}{v_T}=\operatorname{tanh}\!\left(\frac{g t}{v_T}\right).
  • Portanto
v(t)=v_T\,\operatorname{tanh}\!\left(\frac{g t}{v_T}\right).
  • Observação pedagógica: para t\to 0 temos \operatorname{tanh}(x)\approx x, logo v\approx g t (regime inicial sem resistência), e para t\to\infty \operatorname{tanh}\to 1 e v\to v_T (velocidade terminal), o que faz sentido fisicamente.

Passo 6

Integrar v(t) para obter a posição y(t).
  • Sabendo v(t)=\dfrac{dy}{dt}=v_T \operatorname{tanh}\!\left(\dfrac{g t}{v_T}\right), integro em t:
y(t)=\int_0^t v(\tau)\,d\tau = v_T\int_0^t \operatorname{tanh}\!\left(\frac{g\tau}{v_T}\right)\,d\tau.
  • Use a primitiva \dfrac{d}{d\tau}\ln\!\big(\operatorname{cosh}(\alpha\tau)\big)=\alpha\operatorname{tanh}(\alpha\tau). Com \alpha=\dfrac{g}{v_T} temos
\int \operatorname{tanh}\!\left(\frac{g\tau}{v_T}\right)\,d\tau = \frac{v_T}{g}\ln\!\big(\operatorname{cosh}\!\left(\frac{g\tau}{v_T}\right)\big)+C.
  • Aplicando os limites de 0 a t e a condição inicial y(0)=0 (que fixa C de modo que a expressão valha zero em t=0):
y(t)=v_T\cdot\frac{v_T}{g}\left[\ln\!\big(\operatorname{cosh}\!\left(\frac{g t}{v_T}\right)\big)-\ln\!\big(\operatorname{cosh}(0)\big)\right].
  • Como \operatorname{cosh}(0)=1 e \ln 1=0, resulta
y(t)=\frac{v_T^{2}}{g}\,\ln\!\left(\operatorname{cosh}\!\left(\frac{g t}{v_T}\right)\right).

Passo 7

Apresentar formas equivalentes e checar dimensões/limites (útil para prova).
  • Usando v_T^{2}=mg/k obtém-se a forma sem v_T:
y(t)=\frac{m}{k}\,\ln\!\left(\operatorname{cosh}\!\left(\sqrt{\frac{gk}{m}}\,t\right)\right).
  • Dimensionalmente: [\tfrac{m}{k}]= comprimento, e o argumento da \operatorname{cosh} é adimensional, então a expressão tem unidade de comprimento — consistente.
  • Limites:
    • Para t\to 0, \operatorname{cosh}(x)\approx 1+\tfrac{x^{2}}{2} e y(t)\approx \tfrac{1}{2} g t^{2} (regime inicial sem resistência).
    • Para t\to\infty, y(t)\sim \dfrac{v_T^{2}}{g}\left(\frac{g t}{v_T}-\ln 2\right)=v_T t - \dfrac{v_T^{2}}{g}\ln 2 (movimento aproximado com velocidade terminal).

Resposta

y(t)=\frac{v_T^{2}}{g}\,\ln\!\left(\operatorname{cosh}\!\left(\frac{g t}{v_T}\right)\right)
\text{com }v_T=\sqrt{\dfrac{mg}{k}}\quad\text{(equivalentemente)}\quad y(t)=\frac{m}{k}\,\ln\!\left(\operatorname{cosh}\!\left(\sqrt{\frac{gk}{m}}\,t\right)\right)

Exercícios relacionados